Красивая задача по матану

[SomePupil]

Найти все действительные $\alpha \ne \beta,$ такие что

$$\alpha^\alpha = \beta^\beta.$$

[gris]

График соответствующей функции даёт нам одно целочисленное решение и надежду на существование нескольких других. Но удастся ли выписать для них явную формулу? Разве что через спецфункцию.
То есть получается $(0,1)$ (Если полагать $0^0=1$), а далее для $\forall\alpha\in(0,1/e)\exists! \beta: ...$.

[Aritaborian]

Наверняка туда припрётся какая-нибудь W-функция Ламберта и испортит всем настроение.

[Nik_Nikols]

Сводится к старинной задачке $x^y=y^x$ (см., напр., https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_x%CA%B8%3Dy%CB%A3):

$$x^x=y^y \leftrightarrow \frac{1}{x^x}=\frac{1}{y^y} \leftrightarrow \left(\frac{1}{x}\right)^x=\left(\frac{1}{y}\right)^y\leftrightarrow \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{y}}=\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{1}{x}}$$

(про $0^0$ временно забудем, считаем, что $x,y>0$).
Отсюда получим параметрическое описание множества решений ($x\neq y$, $x,y>0$):

$$ x=v^{\frac{1}{1-v}},\,\,y=v^{\frac{v}{1-v}} $$

Или не отсюда, а по аналогии.
Остается некоторая казуистическая проблема с отрицательными $x,y$.

[SomePupil]

Nik_Nikols, правильно!

Nik_Nikols в сообщении #1203587 писал(а):

Остается некоторая казуистическая проблема с отрицательными $x,y$.

Это не проблема. Выбросить из головы все отрицательные числа $-$ и всё.

[mihailm]

Выбрасывать ничего не надо и казуистики тут нет. Отрицательные числа можно возводить в целую (и только) степень.