Совпадение или закономерность?

[ИгорЪ]

Если в формулу для гравитационного радиуса вместо массы подставить планковскую массу то получится планковская длина. Это случайное совпадение? Если нет, то о чем говорит этот странный, на мой взгляд факт, связи классических и квантовых понятий. Все найденные тексты на эту тему, типа https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 0%BD%D0%B0 https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 1%80%D0%B0 обсуждают максимоны и другие странные идеи об исчезновении пространства времени.

[warlock66613]

ИгорЪ в сообщении #1202696 писал(а):

Если в формулу для гравитационного радиуса вместо массы подставить планковскую массу то получится планковская длина.

Не может такого быть. Планковские единицы — когерентные, то есть они получены из соотношений, где все числовые множители — единицы, а в формуле для гравитационного радиуса двойка присутствует.

[ИгорЪ]

увы может - посчитайте

[warlock66613]

$r_g=\frac {2Gm} {c^2}$
$m_p=\sqrt {\frac {\hbar c} G}$
$r_g(m_p) =\frac {2G} {c^2} \sqrt {\frac {\hbar c} G}=2\sqrt{\frac {\hbar G} {c^3}} \neq \sqrt{\frac {\hbar G} {c^3}} = l_p$

[ИгорЪ]

Экий вы буквоед. Вы наверное математик. Физик должен понимать, что формулы для планковской массы и длины получены из соображений размерности с точностью до константы. Я говорю об удивительном, на мой взгляд, совпадении порядков двух величин из классической и квантовой науки.

[warlock66613]

ИгорЪ в сообщении #1202792 писал(а):

Я говорю об удивительном, на мой взгляд, совпадении порядков двух величин из классической и квантовой науки.

Да? Ну вот вам тогда ещё удивительнейшее совпадение порядков. Если в совершенно классическую формулу $E=mv^2/2=m(\frac l t)^2 / 2$ подставить массу электрона, боровский радиус ($\frac {\hbar} { m_e c\alpha }$) и атомную единицу времени ($\frac {\hbar} { m_ec^2 \alpha ^2}$), то получится энергия Хартри ($m_e c^{2}\alpha ^{2}$).

[ИгорЪ]

Спасибо что напомнили об этом методе рассуждений. В этом примере все понятно. Атомы - основные объекты физики при размерах, временах и энергиях Хартри. Мы пользуемся классической формулой для заранее известной квантовой системы (атом) и подставляя характерные для этой системы атомные единицы расстояния и времени получаем качественно правильное выражение для энергии. В нашем случае, если считать, что изучаемая система - квантовая черная дыра, то вычисляя ее радиус, получим планковскую длину. Выходит, что планковские величины являются характерными для квантовых черных дыр? И наоборот, черные дыры есть основные объекты на планковских расстояниях.

[SergeyGubanov]

ИгорЪ в сообщении #1202696 писал(а):

Если в формулу для гравитационного радиуса вместо массы подставить планковскую массу то получится планковская длина. Это случайное совпадение?

Это не совпадение, а определение планковской массы или планковской длины (смотря что из них считать более первичным).

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #1202852 писал(а):

Выходит, что планковские величины являются характерными для квантовых черных дыр? И наоборот, черные дыры есть основные объекты на планковских расстояниях.

Скажите, вы правда этого раньше не знали, или придуриваетесь?

[Cos(x-pi/2)]

ИгорЪ в сообщении #1202792 писал(а):

Физик должен понимать, что формулы для планковской массы и длины получены из соображений размерности с точностью до константы.

Раз это знаете, то не надо тогда говорить о "совпадении". Ведь планковские единицы длины, массы и времени строятся из мировых постоянных $c,$ $\hbar,$ $G$ по соображениям размерности единственным образом. Поэтому в формулах, содержащих только $c,$ $\hbar,$ $G,$ не может получиться чего-то "не планковского".

Например, подставьте в классическую формулу для длины пути $l=vt$ скорость света и планковское время, и ... о, чудо! :) - получается планковская длина. Или вот ещё "чудесное совпадение": в классическую формулу пути $l=gt^2/2,$ при постоянном ускорении $g$ "свободного падения" подставим планковское время, а в классическую формулу для ускорения $g=GM/r^2$ подставим планковскую массу и планковскую длину; тогда по порядку величины $l$ тоже оказывается планковской длиной. И т.д. и т.п.

Физически это означает, что планковские величины могут иметь смысл характерных масштабов в описании чего-то релятивистско-квантово-гравитационного, поскольку содержат $c,$ $\hbar,$ $G.$ Но планковские единицы вряд ли могут быть характерными масштабами в описании, например, обычных электрических явлений с известным нам из обыденного опыта "элементарным электрическим зарядом" $e.$

Вот постройте по размерности из планковской длины, массы и времени единицу электрического заряда. Удобнее сделать это упражнение для заряда в квадрате; получается, конечно же, $\hbar c,$ так что "планковская постоянная тонкой структуры" равна $1.$ Совпадения с $\alpha = e^2/(\hbar c) \approx 1/137$ нет (если не считать, что $1 \approx 1/137).$

Если Вы добавите к набору мировых постоянных $c,$ $\hbar,$ $G$ ещё и электрический заряд электрона $e,$ то единицы длины, массы и времени будут определяться уже не единственным образом; их можно представить, например, как планковские единицы, умноженные на произвольные функции $f(\alpha)$ от $\alpha \approx 1/137,$ и "чудесные совпадения" рассосутся в оценках тех величин, где существенен электрический заряд. Ещё меньше чудесных совпадений будет, например, в задаче о падении кирпича с крыши сарая: тут появляются свои "мировые постоянные" - масса кирпича, высота сарая, ускорение свободного падения $g,$ не связанные с планковскими масштабами (по крайней мере напрямую, насколько нам пока известно :)

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #1202696 писал(а):

Если в формулу для гравитационного радиуса вместо массы подставить планковскую массу то получится планковская длина. Это случайное совпадение?

Попробуйте сделать это раз тридцать, сорок, ... Если результаты воспроизведутся, значит, есть закономерность :)

[ИгорЪ]

SergeyGubanov
Определение. Планковская длина — величина размерности длины, выражаемая через фундаментальные константы: скорость света, постоянная Планка и гравитационная постоянная.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #1202886 писал(а):

Определение. Планковская длина — величина размерности длины, выражаемая через фундаментальные константы: скорость света, постоянная Планка и гравитационная постоянная.

Это чушь, а не определение. Вы что, не знаете, что такое определение?
Определение вот: $l _{\mathrm{P}}=\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}.$

[ИгорЪ]

Cos(x-pi/2)
Спасибо хорошее объяснение. Вашу точку зрения я понял. Не понял вот что: размерность заряда в квадрате ведь не равна размерности произведения $hc$?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1202875 писал(а):

Вот постройте по размерности из планковской длины, массы и времени единицу электрического заряда. Удобнее сделать это упражнение для заряда в квадрате; получается, конечно же, $\hbar c,$ так что "планковская постоянная тонкой структуры" равна $1.$ Совпадения с $\alpha = e^2/(\hbar c) \approx 1/137$ нет (если не считать, что $1 \approx 1/137).$

Что то в этом роде я и предполагал, говоря о (не)совпадении. Однако. Раз в случае электрического заряда совпадения нет, то надо считать, что электрический заряд не является жителем планковских масштабов? Если вычислить "планковский" коэффициент упругости из формулы для периода колебаний пружинного маятника, то он окажется равен $10^{80}$ и, разумеется "там" нет пружинных маятников, но это порядок значения коэффициента упругости любимой струны. Как же отличать совпадение от несовпадения в этом (надеюсь понятном) контексте?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #1203060 писал(а):

Не понял вот что: размерность заряда в квадрате ведь не равна размерности произведения $hc$?

Равна.

Физики используют единицы Гаусса, в которых закон Кулона имеет вид $F=q_1 q_2/r^,$ так что размерность заряда в квадрате равна $[Fr^2]=[mar^2]=\mathrm{ML^{3}T^{-2}}.$

ИгорЪ в сообщении #1203060 писал(а):

Раз в случае электрического заряда совпадения нет, то надо считать, что электрический заряд не является жителем планковских масштабов?

Я ещё раз спрашиваю:

Munin в сообщении #1202862 писал(а):

Скажите, вы правда этого раньше не знали, или придуриваетесь?

Считайте, что этот вопрос обязательный.

[SergeyGubanov]

ИгорЪ в сообщении #1203060 писал(а):

Как же отличать совпадение от несовпадения в этом (надеюсь понятном) контексте?

Можно отличать совпадения от определений.

Вот это очень похоже на определение:

$$ L_{compton} (m_{planck}) = R_{gravitation} (m_{planck}) $$

Всё остальное похоже на случайные совпадения.