Последовательность Фибоначи

[Natalya D]

Тоже вопрос из любопытства.

Почему в последовательности Фибоначи (1,1,2,3,5,8 и т.д.)

При больших числах при делении соседей последовательности друг на друга (больший член на меньший) получается константа 1,6180339887498900
как то в голове не укладывается.

[venja]

Что-то не то. Иначе это была бы геометрическая прогрессия.

[Профессор Снэйп]

Почему не укладывается? Наоборот, всё очень даже естественно.

Вот это Ваше число

$$ 1,6180339887498900... = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$

есть ни что иное, как один из корней уравнения

$$ x = \frac{x+1}{x}. $$

Представьте себе, что $n$-ый член последовательности равен $F_n$, а $F_{n+1} = F_n \cdot x$, где $x$ --- корень указанного уравнения. Тогда $F_{n+2} = F_n + F_{n+1} = (x+1)F_n$,

$$ \frac{F_{n+1}}{F_n} = x $$

и

$$ \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = \frac{(x+1)F_n}{xF_n} = \frac{x+1}{x}, $$

что опять же равно $x$

Так что если в каком-то месте последовательности отношение стало очень близким к указанному числу, то далее оно так и будет оставаться близким к нему.

Добавлено спустя 2 минуты 28 секунд:

venja писал(а):

Что-то не то. Иначе это была бы геометрическая прогрессия.

Она сказала "при больших числах". То есть имелось в виду, что предел отношения двух соседних чисел Фибоначчи равен этому числу Хотя каждое из отношений, конечно же, ему не равно.

Добавлено спустя 13 минут 52 секунды:

Для тех, кто не знает. Существует формула, задающая в явном виде $n$-ое число Фибоначчи:

$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1- \sqrt{5}}{2} \right)^n \right) $$

Формула выводится методами линейной алгебры и представляет из себя достаточно простое упражнение для первокурсников (математических факультетов).

Вообще про числа Фибоначчи довольно много написано в Википедии : http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 1%87%D0%B8

[Natalya D]

Спасибо за развернутый ответ )
все оказалось не так уж загадочно ))