как вывести формулу производной arccosec(x)

[AmatoryFan]

как найти формулу производной arccosec(x)

[Brukvalub]

Использовать теорему о производной обратной функции. При выполнении условий этой теоремы производные взаимно-обратных функций связаны соотношением:

\[ x'(y) = \frac{1}{{y'(x)}} \]

[AD]

Ну как обычно ищут производные от обратных функций.

Вот смотрите, чему равна производная от x=cosec(arccosec(x))? Ясное дело, тождественная единица. А теперь посчитайте её как производную от сложной функции.

[AmatoryFan]

я тупая я не поняла как(((

[PAV]

Обратной к какой функции является arccosec

[AmatoryFan]

cosec

[Gordmit]

Предвижу следующий вопрос: чему равна производная косеканса?

[AmatoryFan]

(cosec(x))' = - ctg(x)*cosec(x)

[Gordmit]

Верно. (Только если мы рассматриваем обратную функцию $x=x(y)=\cosec y$, то записать это надо в терминах переменной $y$: $x'(y)=(\cosec y)'=-\ctg y\cdot\cosec y$.)

Теперь осталось лишь воспользоваться формулой для производной обратной функции, которую написал Brukvalub, и подставить в ней $y=\mathrm{arccosec}\,x$.

[AmatoryFan]

))) спасибо большое

[Someone]

Gordmit писал(а):

Верно. (Только если мы рассматриваем обратную функцию $x=x(y)=\cosec y$, то записать это надо в терминах переменной $y$: $x'(y)=(\cosec y)'=-\ctg y\cdot\cosec y$.)

Теперь осталось лишь воспользоваться формулой для производной обратной функции, которую написал Brukvalub, и подставить в ней $y=\mathrm{arccosec}\,x$.

А при упрощении результата подстановки не забыть определение арккосеканса:
$y=\mathrm{arccosec}\,x\Leftrightarrow -\frac{\pi}2\leqslant y\leqslant\frac{\pi}2\&\cosec y=x$.