Числа по кругу и делимость на 3

[Ktina]

Можно ли при некотором натуральном $n$ расставить по кругу натуральные числа от 1 до $n$ таким образом, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на 3? Каждое число можно использовать только один раз.

[mihaild]

Нет. Зафиксируем начало круга. Если на первом месте стоит число, не делящееся на $3$, то на всех нечетных местах тоже стоят не делящиеся на $3$ числа. Аналогично со вторым местом и четными позициями.
Значит, чисел, делящихся на $3$ либо нет, либо не меньше чем $\frac{n - 1}{2}$. Это возможно только при $n \leqslant 3$, но одно, два или три числа так расставить невозможно.

[Ktina]

mihaild
Большое спасибо!