Равны ли бесконечность и бесконечность+1?

[wd40]

Очевидно, что целых чисел за исключением нуля в два раза больше, чем натуральных.
Но доказано взаимно однозначное соответствие даже между $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Q}$.
Налицо очевидное противоречие с элементарным здравым смыслом.
Какие теории используют предположение, что $\infty$ и $\infty+1$ это не одно и тоже?

[Munin]

Сравните
Кардинальные числа;
Ординальные числа.

[Someone]

wd40 в сообщении #1200121 писал(а):

Очевидно, что целых чисел за исключением нуля в два раза больше, чем натуральных.

Очень простое упражнение: придумать взаимно однозначное соответствие между множеством целых чисел (хоть с нулём, хоть без нуля) и множеством натуральных чисел. Это будет означать, что указанные множества равномощны.

wd40 в сообщении #1200121 писал(а):

Какие теории используют предположение, что $\infty$ и $\infty+1$ это не одно и тоже?

Символ "$\infty$" в сочетании со знаком "$+$" используется в математическом анализе. Из свойств пределов следует, что $\infty+1=\infty$. В теории множеств символ "$\infty$" не используется и не имеет отношения к количеству элементов.

Munin в сообщении #1200124 писал(а):

Ординальные числа

Ординальные числа не имеют отношения к количеству элементов, их следует рассматривать как упорядочение элементов.

[Munin]

Someone в сообщении #1200127 писал(а):

Ординальные числа не имеют отношения к количеству элементов

Зато они отвечают на вопрос "в какой теории бесконечность и бесконечность плюс один - это не одно и то же".

[wrest]

wd40 в сообщении #1200121 писал(а):

Налицо очевидное противоречие с элементарным здравым смыслом.

Так ведь и сама бесконечность элементарному здравому смыслу противоречит.

[arseniiv]

Munin
Так можно и order types вспомнить. А то порядку целых или рациональных чисел не соответствует никакой ординал.

-- Вт мар 14, 2017 11:41:33 --

wd40 в сообщении #1200121 писал(а):

Налицо очевидное противоречие с элементарным здравым смыслом.

Налицо то, что вы не в курсе, что для каждого $n$ можно найти биекцию между $1..n\times\mathbb N$ и $\mathbb N$, так что «очевидно», что целых чисел за исключением нуля в любое положительное целое число раз «больше» или «меньше», чем натуральных. Да и со включением нуля тоже, а так же с исключением/добавлением любого произвольного конечного числа элементов, т. к. биекция между $\mathbb N+n$ и $\mathbb N$ тоже имеется.

[Someone]

wrest в сообщении #1200152 писал(а):

wd40 в сообщении #1200121 писал(а):

Налицо очевидное противоречие с элементарным здравым смыслом.

Так ведь и сама бесконечность элементарному здравому смыслу противоречит.

Вообще, в природе многое противоречит "элементарному здравому смыслу". Этот самый "элементарный здравый смысл" основан на бытовом опыте, а у себя на кухне Вы вряд ли сталкиваетесь с бесконечными множествами или с объектами, движущимися с околосветовой скоростью.

[wrest]

Someone в сообщении #1200161 писал(а):

а у себя на кухне Вы вряд ли сталкиваетесь с бесконечными множествами или с объектами, движущимися с околосветовой скоростью.

Так и я о том же. Вряд ли можно рассуждать о бесконечностях исходя из элементарного здравого смысла. Это было понятно еще древним грекам типа Зенона и так далее.

[Sinoid]

wd40 в сообщении #1200121 писал(а):

Налицо очевидное противоречие с элементарным здравым смыслом.

Наглядно и просто про здравый смысл. У вас два отрезка разной длины. В каком из них больше точек?

[yafkin]

Похоже пора взять в руки учебник по логике ,в математике много не очевидных вещей: любая теорема доказывается.

[wd40]

Sinoid
Если в теории, то одинаково. И даже в квадрате и даже в

$$\mathbb{R}^n$$

столько же.
Это говорит о том, что теорию надо менять, поскольку такой бред выходит.

[SomePupil]

wd40 в сообщении #1200250 писал(а):

Это говорит о том, что теорию надо менять, поскольку такой бред выходит.

Надо разменять теорию множеств на линейку.

P. S. А вообще, Кантор тоже не верил, что в сплошном квадрате столько же точек, сколько на отрезке. По мне это очень неожиданный, крутой результат.

[Aritaborian]

Открытие этого результата, поговаривают, его в могилу свело. Так что, wd40, лучше не всматривайтесь в эту бездну ;-)

[miflin]

wd40 в сообщении #1200250 писал(а):

Это говорит о том, что теорию надо менять, поскольку такой бред выходит.

А это, случайно, не первый шаг в этом направлении?

[arseniiv]

wd40 в сообщении #1200250 писал(а):

Это говорит о том, что теорию надо менять, поскольку такой бред выходит.

Нет, это говорит о том, что надо не путать теорию множеств с теорией меры.