Геометрия пространства благоприятных исходов?

[Лукомор]

Aether в сообщении #1200348 писал(а):

Какой у Вас получился результат? У меня $\frac{1}{3}$ для трех точек.

У меня получился сначала результат $\frac{1}{2}$, но я уже исправился и получил правильный ответ $\frac{1}{3}$.
Кроме того, я убедился, что Ваша формула $p=3a^2$ действительно работает интервале значений $0<a\leqslant\frac{1}{2}$, и не работает на интервале значений
$\frac{1}{2}<a\leqslant\frac{2}{3}$, потому что там будет работать другая формула:
$p=3[a^2-(2a-1)^2]$
Только вот вероятностное пространство у меня совершенно другое.
Я беру три оси ${X,Y,Z}$ и откладываю по ним значения длин трех дуг, которые получаются при бросании трех точек на окружность.
Поскольку значения этих длин дуг не меньше нуля, и сумма этих длин равна длине окружности:
$x+y+z=2\pi R$ то получается правильный треугольник с вершинами в точках:
$[2\pi R, 0, 0], [0, 2\pi R, 0], [0,0, 2\pi R]$.
Если теперь пронормировать этот треугольник, то-есть принять его площадь за единицу, то этот треугольник и будет изображением вероятностного пространства Вашей задачи.
Теперь, если выбрать $a=\frac{1}{2}$, то треугольник распадется на четыре равных по площади правильных треугольника, три из которых, по углам большого треугольника будут соответствовать благоприятным исходам, а центральный - неблагоприятным исходам.
Если $a<\frac{1}{2}$, то "территория" благоприятных исходов уменьшится, линии, параллельные сторонам треугольника сдвинутся к соответствующим вершинам, а область неблагоприятных исходов примет вид шестиугольника.
При этом стороны равносторонних треугольников, соответствующих благоприятным исходам, будут относиться к сторонам большого треугольника в отношении
$\frac{l}{L}=a$, соответственно площади, а с ними и вероятности, будут относиться как $\frac{s}{S}=a^2$.
А поскольку таких малых треугольников будет три, то итоговая вероятность будет равна $3a^2$.
Иное дело, когда $\frac{1}{2}<a\leqslant\frac{2}{3}$.
Три треугольника, соответствующие благоприятным исходам, будут ложиться друг на друга "внахлест", и нам необходимо будет вычесть площади которые дублируются.
Это будут также равносторонние треугольники, их стороны будут относиться к длине стороны большого треугольника, как $\frac{l}{L}=2(a-\frac{1}{2})=2a-1$. Соответственно их площади будут относиться к площади большого треугольника, как $\frac{s}{S}=(2a-1)^2$. Область же неблагоприятных исходов будет иметь вид равностороннего треугольника в центре нашего исходного треугольника, не касающегося его сторон.
С ростом $a$ эта область будет уменьшаться, и при $a=\frac{2}{3}$ стянется в точку.
Вот и всё что нужно знать о трех случайных точках нечаянно уроненных на окружность...

[Aether]

Ну я же говорил, что они золотые.

Спасибо, что уделили столько времени задаче. Теперь смотрите, я посидев несколько минут и просто рассмотрев геометрические соотношения и используя общие расуждения о симметрии, попытался решить задачу в общем виде, для $a<0.5 $ и произвольного количества брошенных случайным образом на окружность точек $n$, получилась такая вот незамысловатая формула:

$V_n=n\cdot a^{n-1} $

Возьмётесь проверить мою формулу, с помощью своего метода и решить задачу, например для 13-ти точек?

[Лукомор]

Aether в сообщении #1200593 писал(а):

Возьмётесь проверить мою формулу, с помощью своего метода и решить задачу, например для 13-ти точек?

Нет, не возьмусь!

[Aether]

Лукомор в сообщении #1200618 писал(а):

Нет, не возьмусь!

Жаль.
Вдруг я ошибся.