Асимптотика ряда, похожего на тета-функции

[sergei1961]

Ищется единая асимптотика ряда при всех $x>0$

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}k^2 \exp(-xk^2). $$

Ясно, что при больших $x$ достаточно нескольких первых членов. Интересно при $0<x<1$, особенно в виде точных явных неравенств.
Существует преобразование, аналогичное формуле Пуассона, позволяющее при вычислении ряда переходить от аргумента $x$ к аргументу $1/x$?

[Vince Diesel]

Это же производная от тета функции. Так что если взять производную от обеих частей соответствующей формулы Пуассона по параметру $x$, то получится какая-то другая формула для $f(x)$.

[sergei1961]

Vince Diesel - спасибо, буду пробовать.