Непрерывная дифференцируемость и условие Липшица

[lantza]

Доказать, что если функции $f(x,y)$ и $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ непрерывны в области $G$ плоскости $R^2_{(x,y)}$, то $f(x,y)$ удовлетворяет условию Липшица по $y$ равномерно по $x$ на каждом компакте $K \subset G$.

Читаю доказательство из задачника (по дифурам под редакцией В. К. Романко):


Совершенно не понимаю концовку доказательства: чему ограниченность $F(x, y', y'')$ противоречит?

[mihaild]

Тут, видимо, потерялось требование $L_n \to \infty$.

[ewert]

Я не понимаю другого: зачем всё это?...

Из непрерывности производной (только её) по двумерной теореме Вейерштрасса следует её ограниченность на компакте, из которой по теореме Лагранжа (уже одномерной) следует равномерная липшицевость, ч.т.д.

[Vince Diesel]

Область $G$ может быть невыпукла.

[lantza]

mihaild в сообщении #1199315 писал(а):

Тут, видимо, потерялось требование $L_n \to \infty$.

Только и всего? Ох, спасибо.

[Grabovskiy]

Vince Diesel в сообщении #1199351 писал(а):

Область $G$ может быть невыпукла.

Можно доказать локальную липшицевость (для выпуклых окрестностей в $G$), а из локальной липшицевости следует липшицевость на любом компакте, вложенном в $G$.