Неподвижные точки (Vsauce), научпоп

[bayah]

В выпуске Vsauce ( https://www.youtube.com/watch?v=cVbfjKqRR5A ) речь идет о теореме Брауэра о неподвижной точке.
Автор показывает наглядную визуализацию на примере преобразования поверхности разбитой на разноцветные квадраты.
Вот этот момент, если быть точнее: https://www.youtube.com/watch?v=cVbfjKqRR5A&feature=youtu.be&t=209
Неясно, каким образом, то, что всегда есть такие светящиеся точки, связано с тем, что всегда есть неподвижная точка. Ведь эти светящиеся точки это не неподвижные точки, и даже не множество среди которых такая найдется. Например, два каких-то одинакового цвета квадрата могут пересекаться по множеству несоответствующих частей (например правый верхний угол пересекается с нижним правым ), а значит и точек соответствующих в этом пересечении нет. Однако демонстрация построена на утверждении что всегда будут такие светящиеся точки. Что же значит наличие таких точек, неясно. Если же это как-то эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точки, то мне не очевидна эта эквивалентность. Или я чего-то не понял?

[iifat]

Итак, светящиеся точки будут всегда.
Как вы думаете: пять — это такое сакральное число? А если взять разбиение $6\times6$? $100500\times100500$?

[bayah]

iifat в сообщении #1198328 писал(а):

Итак, светящиеся точки будут всегда.
Как вы думаете: пять — это такое сакральное число? А если взять разбиение $6\times6$? $100500\times100500$?

Нет, не думаю. А я и не сомневаюсь что светящиеся точки будут всегда при любом $n \times n$ разбиении.
Дело в другом, что светящиеся точки - это не неподвижные точки. Что толку нам с того, что для любого разбиения найдутся светящиеся точки, если они не есть неподвижные точки?

Ну вот, на примере из видео, взять эту карту, сжать до размеров одного квадрата и поместить в правый нижний квадрат. На этом этапе светящиеся точки - это это правый нижний угол правого нижнего квадрата исходной карты и неподвижнной точкой осталась точка в правом нижнем углу. Теперь повернем преобразованную карту на 180 градусов. Теперь среди светящихся точек нет той неподвижной.

[iifat]

bayah в сообщении #1198484 писал(а):

светящиеся точки - это не неподвижные точки

Ладно, светящиеся — не неподвижные. А наоборот? Как думаете, будет светиться? При каком разбиении?

[bayah]

iifat в сообщении #1198516 писал(а):

Ладно, светящиеся — не неподвижные. А наоборот? Как думаете, будет светиться? При каком разбиении?

Ну должно, рас она неподвижна, то уж точно из той же области)

-- 10.03.2017, 01:18 --

bayah в сообщении #1198484 писал(а):

Ну вот, на примере из видео, взять эту карту, сжать до размеров одного квадрата и поместить в правый нижний квадрат. На этом этапе светящиеся точки - это это правый нижний угол правого нижнего квадрата исходной карты и неподвижнной точкой осталась точка в правом нижнем углу. Теперь повернем преобразованную карту на 180 градусов. Теперь среди светящихся точек нет той неподвижной.

А не, это неправильный пример.

[bayah]

bayah в сообщении #1198531 писал(а):

Ладно, светящиеся — не неподвижные. А наоборот? Как думаете, будет светиться? При каком разбиении?

Ну и если даже неподвижная точка должна быть среди светящихся, то это не значит, что он будет среди какой-то части этих светящихся точек. Так что тогда означают эти светащиеся точки в демонстрации? Просто места где может располагаться неподвижная точка? Ну тогда сама демонстрация ничего не говорит собственно о неподвижной точке, так?

[bayah]

И да, как насчет такого примера?
http://sta.sh/025nqgkt1q6q

[mihaild]

bayah в сообщении #1198567 писал(а):

И да, как насчет такого примера?

Там угол по координатам $(1, 1)$ в себя переходит.

[bayah]

mihaild в сообщении #1198572 писал(а):

Там угол по координатам $(1, 1)$ в себя переходит.

А какому цвету в таком случае эта точка принадлежит?

[mihaild]

Тому, в который мы покрасили эту точку:)
Раскраска, как на рисунке - условность, т.к. квадрат на такие "плитки" не разбивается (если плитки открытые - то остаются границы, если замкнутые - то они пересекаются).