Метод Ватсона. А почему он Ватсона, а не Пуанкаре?

[Alex-Yu]

Наверное многие знают о методе Ватсона, во всяком случае в том виде, как изложено в учебнике ТФКП Свешникова-Тихонова.

По некоторым причинам мне пришлось прочитать работы Ватсона 1918 и 1919 года в Proc.Roy.Soc., и я к удивлению обнаружил, что сам Ватсон ссылается на Пуанкаре. Судя по тем кратким словам, что у Ватсона, у Пуанкаре все уже было: и замена ряда на интеграл и трансформация с помощью ТФКП. Причем на 8 лет раньше Ватсона. Тем не менее везде это называется "метод Ватсона". Да, Ватсон первый получил физически правильный результат на счет распространения радиоволн, учтя наличие ионосферы (до него не учитывали). Но к математическому методу-то какое он имеет отношение? Это именно вопрос, а не скрытое утверждение, что не имеет. К сожалению статьи Пуанкаре мне не доступны, французского я не знаю.

Кто владеет вопросом и может прокомментировать?

[Otta]

Принцип Арнольда, имхо, не более.

[Alex-Yu]

Otta в сообщении #1198104 писал(а):

Принцип Арнольда, имхо, не более.

Очень даже может и быть. А может и не быть. Хотелось бы чего-нибудь более обоснованного. Если бы я мог прочитать Пуанкаре... Но увы, французский.

Может кто знает какой-нибудь перевод работ Пуанкаре на английский? На русский, естественно, тоже можно. Статьи такие:

http://link.springer.com/article/10.100 ... 67?LI=true

http://www.jstor.org/stable/116437?seq= ... b_contents

Судя по формулам, вторая не об этом. Но на нее я тоже видел ссылки (не Ватсона и возможно ошибочные) в этом контексте.

[Metford]

Alex-Yu в сообщении #1198101 писал(а):

сам Ватсон ссылается на Пуанкаре. Судя по тем кратким словам, что у Ватсона, у Пуанкаре все уже было: и замена ряда на интеграл и трансформация с помощью ТФКП.

В моём представлении (поправьте меня, если я ошибаюсь) метод Ватсона заключается в том, чтобы от одного ряда перейти к другому - "с более хорошими свойствами" сходимости; для этого ряд представляется как сумма вычетов, возникающая при вычислении некоторого интеграла в комплексной плоскости; затем этот же интеграл вычисляется по другому контуру - и получается новый ряд. В первой статье, ссылку на которую Вы привели, о суммировании рядов речь идёт в параграфе 19 (почти самый конец статьи). Моё знание французского оставляет желать много-много лучшего, но по-моему там ряд (весьма специального вида) только сводится к интегралу. Теперь самому интересно, не ошибаюсь ли я.

[Alex-Yu]

Metford в сообщении #1198129 писал(а):

В моём представлении (поправьте меня, если я ошибаюсь) метод Ватсона заключается в том, чтобы от одного ряда перейти к другому - "с более хорошими свойствами" сходимости; для этого ряд представляется как сумма вычетов, возникающая при вычислении некоторого интеграла в комплексной плоскости; затем этот же интеграл вычисляется по другому контуру - и получается новый ряд.

Да.

-- Ср мар 08, 2017 20:29:49 --

Metford в сообщении #1198129 писал(а):

Моё знание французского оставляет желать много-много лучшего, но по-моему там ряд (весьма специального вида) только сводится к интегралу. Теперь самому интересно, не ошибаюсь ли я.

Ну вот, это уже кое-что. А я французский не знаю совсем. Но, судя по некоторым статьям, где это упоминается, например

http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/6 ... 37_A1b.pdf

какое-то асимтотическое вычисление интеграла там все же делалось. Но, быть может (?), не сведение к другому ряду, что-то другое. Может это заслуга Ватсона --- сведение к другому ряду, именно ряду.

Впрочем, посмотрел сейчас Свешникова-Тихонова. Там в первом примере ответ сводится просто к гиперболическому тангенсу, никаких рядов Но тоже называется метод Ватсона Ну это, может только в этом учебнике. В конце концов можно встать на такую точку зрения: метод Ватсона --- это только приложение этого приема к дифракции на сфере, а в учебнике несколько расширенное понимание.

Опять же впрочем, я еще видел, когда ряд по бесселям тоже преобразуют таким приемом (дифракция на цилиндре). И тоже называют метод Ватсона.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: в соответствующий раздел (обсуждение истории математики)

[Metford]

Alex-Yu в сообщении #1198130 писал(а):

Может это заслуга Ватсона --- сведение к другому ряду, именно ряду.

Я к этой версии склоняюсь.

Alex-Yu в сообщении #1198130 писал(а):

Впрочем, посмотрел сейчас Свешникова-Тихонова. Там в первом примере ответ сводится просто к гиперболическому тангенсу, никаких рядов Но тоже называется метод Ватсона Ну это, может только в этом учебнике.

Пример простой - интеграл и вычислился Там дальше сказано:

Свешников и Тихонов писал(а):

Во многих случаях удается получить выражение искомого интеграла через сумму вычетов подынтегральной функции в особых точках аналитического продолжения общего члена ряда. Если число таких особых точек конечно, то мы получаем явное выражение для суммы исходного ряда, если число этих особых точек бесконечно, то мы преобразуем исходный ряд в новый, который может оказаться более простым для асимптотического исследования.

Вот ведь во втором примере на выходе получился другой ряд.

[Alex-Yu]

Metford в сообщении #1198156 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1198130

писал(а):
Может это заслуга Ватсона --- сведение к другому ряду, именно ряду.
Я к этой версии склоняюсь.

Не могли бы Вы посмотреть еще (коль хоть как-то знаете франц.). Если я правильно понимаю (по физическому смыслу и дальнейшей "возне вокруг этого в литературе"), Пуанкаре приближенно вычислил интеграл и получил некую экспоненту, как грубую оценку интеграла. А Ватсон дальше уже сделал точнее, в виде ряда (с Ватсоном я сам разберусь, там на английском). Так ли это?

[Metford]

Alex-Yu в сообщении #1198157 писал(а):

Если я правильно понимаю (по физическому смыслу и дальнейшей "возне вокруг этого в литературе"), Пуанкаре приближенно вычислил интеграл и получил некую экспоненту, как грубую оценку интеграла.

Он ссылается на параграф 8, в котором, насколько я понимаю, излагается метод перевала (или что-то очень близкое к нему). Собственно при рассмотрении интеграла, к которому свёлся ряд, Пуанкаре рассматривает различные предельные случаи. Приходит к интегралам, к которым этот подход и применяет. Получается нечто экспоненциальное, да.

[Alex-Yu]

Metford в сообщении #1198178 писал(а):

Он ссылается на параграф 8, в котором, насколько я понимаю, излагается метод перевала (или что-то очень близкое к нему). Собственно при рассмотрении интеграла, к которому свёлся ряд, Пуанкаре рассматривает различные предельные случаи. Приходит к интегралам, к которым этот подход и применяет. Получается нечто экспоненциальное, да.

ОК. Это все очень хорошо "ложится" на то, как я себе это представляю. Он получил тень, в тени действительно экспоненциальное затухание (если ионосферу не учитывать, а он ее не учитывал, как Ватсон говорит).

Вы мне очень помогли, спасибо. Более-менее это я теперь понимаю. Мне тут надо обзор написать (не для журнала, технический отчет внутреннего характера) по расчетам распространения радиоволн. Вот хочу начать с начала Еще раз большое спасибо.