Один интегральчик, который хотел стать ноликом...

[madschumacher]

Вот такой вот вопрос. Встретил в одном учебнике (Степанов Н.Ф., Пупышев В.И. "Квантовая механика и квантовая химия молекул") утверждение:
$ \langle \Phi , \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle = 0$ для любой переменной $Q$ при условии $\langle \Phi, \Phi \rangle= 1$.
Там было приведено (элементарное) доказательство в случае $\Phi \in \mathbb{R}$.

(сосбстна, оно)

$ \frac{\partial}{\partial Q} \underbrace{1}_{\langle \Phi, \Phi \rangle} = 0 = \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle + \langle \frac{\partial}{\partial Q} \Phi, \Phi \rangle = 2 \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle $

При этом:

Степанов Н.Ф., Пупышев В.И. Квантовая механика и квантовая химия молекул, Глава 2, параграф 3 писал(а):

если функция нормирована по переменным $\mathbf{r}$ и действительна (последнее введено для простоты)

Я пытался показать это в случае $\Phi \in \mathbb{C}$. Для этого представлял $\Phi$ в виде $\Phi = \phi \cdot \exp (i \eta)$.
При этом, очевидно:
$ \frac{\partial}{\partial Q} \underbrace{1}_{\langle \Phi, \Phi \rangle = \langle \phi, \phi \rangle} = 0 = 2 \langle \phi, \frac{\partial}{\partial Q} \phi \rangle$
(т.е. для амплитуды $\phi$ всё очевидно).
Но при этом, $ \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle = i \langle \phi, \phi \frac{\partial}{\partial Q} \eta \rangle $.
Так вот, как надо действовать дальше (ведь в общем случае требование $\frac{\partial}{\partial Q} \eta = 0 $ для $\forall Q$ означает, что $\eta \equiv \operatorname{const} $.
Короче, у меня где-то есть огромный косяк, где я ошибаюсь в пути?
Или это утверждение в общем случае неверно?

[Munin]

По-моему,

madschumacher в сообщении #1198071 писал(а):

$ \frac{\partial}{\partial Q} \underbrace{1}_{\langle \Phi, \Phi \rangle} = 0 = \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle + \langle \frac{\partial}{\partial Q} \Phi, \Phi \rangle = 2 \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle $

настолько очевидно, что я даже не знаю, что тут ещё доказывать.

Если вам всё-таки хочется поковырять ещё глубже, то попробуйте разложить $\Phi$ не в амплитуду и фазу, а в действительную и мнимую часть.

[realeugene]

madschumacher в сообщении #1198071 писал(а):

Я пытался показать это в случае $\Phi \in \mathbb{C}$

Рассмотрите $\Phi =\exp \left( i Q \right) $

[Red_Herring]

Проблема в том, что как заметил realeugene $\langle \Phi,\frac{\partial\ }{\partial Q}\Phi \rangle$ не обязательно вещественно

[madschumacher]

realeugene, спасибо за контрпример.

А тогда такой вопрос: когда мы заведомо точно можем сделать волновую функцию действительной?

[amon]

madschumacher в сообщении #1198219 писал(а):

когда мы заведомо точно можем сделать волновую функцию действительной?

Когда потенциал - вещественная функция (нет магнитного поля и спин-орбитального взаимодействия).

[realeugene]

madschumacher в сообщении #1198219 писал(а):

вопрос: когда мы заведомо точно можем сделать волновую функцию действительной?

Вообще говоря, практически никогда: собственная функция любого стационарного состояния с ненулевой энергией содержит комплексный вращающийся фазовый множитель. А в суперпозиции этих состояний даже фазовым множителем обойтись не получится. Но это я пишу, не имея понятия, чему учат в упомянутом вами учебнике по квантовой химии.

[madschumacher]

realeugene в сообщении #1198333 писал(а):

Вообще говоря, практически никогда: собственная функция любого стационарного состояния с ненулевой энергией содержит комплексный вращающийся фазовый множитель.

Как мы видели выше, нас устроит фазовый множитель, который не зависит от выбранной координаты. Ну а сделать действительными плоскую волну или сферическую гармонику -- это задача под силу школьникам, только познакомившимся с комплексными числами.
Конкретный кусок выдран из текста про адиабатический приближение. И этот интеграл подразумевает, что можно его выкинуть из диагонального оператора неадиабатичности (функции -- электронные, производная -- по координатам ядер).

amon в сообщении #1198220 писал(а):

Когда потенциал - вещественная функция (нет магнитного поля и спин-орбитального взаимодействия).

А где можно найти это утверждение? (в смысле книжку какую-нибудь).

[madschumacher]

Ой, я забыл сказать, что $\Phi$ -- стационарная в.ф.

[Munin]

(Я ляпнул глупость, спасибо realeugene и Red_Herring за комментарии.)

[amon]

madschumacher в сообщении #1198339 писал(а):

А где можно найти это утверждение? (в смысле книжку какую-нибудь).

Ну, можем и сами сообразить. Решаем, естественно, стационарную задачу c вещественным $\hat{H}$ (вещественным в том смысле, что из вещественной функции всегда делает вещественную, а из мнимной - мнимую). Пусть $\Psi=\operatorname{Re}\Psi+i\operatorname{Im}\Psi$. Подставляя это в Шредингера получим, что $\operatorname{Re}\Psi$ и $\operatorname{Im}\Psi$ удовлетворяют одному и тому же вещественному уравнению. Обозначив решение этого уравнения $\Phi$, получаем $\Psi=(1+i) \Phi$. Выбором постоянной фазы можно убить мнимую единицу в скобках. QED.

[Red_Herring]

Ну, если оператор не только самосопряженный, но и вещественный, т.е. переводит вещественные в вещественные, то с.ф. можно выбрать вещественными, а основную для Шредингера--даже неотрицательной.

[madschumacher]

Да, как-то неожиданно всё просто оказалось. Спасибо Всем большое!