spurious solutions

[Freude]

Подскажите, пожалуйста, есть ли в математике (в алгебре, численных методах или теории диф. ур-ний) понятие spurious solutions и, если да, то что оно означает?

[maxal]

А что гугл уже отменили?

http://www.mathwords.com/e/extraneous_solution.htm

P.S. Переношу в Помогите решить / разобраться...

[Freude]

Спасибо большое за ссылку, кое-что стало ясно. А сталкивался ли кто с ними при решении диф. ур-я сеточными методами? Уравнения на собственные значения, типа стационарного Шредингера, Гельмгольца?

Подробнее: решаю диф. ур. на собственные значения эллиптического типа конечно-разностным методом. Собственные значения получаются сильно зависящими от шага сетки. В чем проблема? Другими словами решение не проявляет сходимости при увеличении шага, а даже наоборот.

[shwedka]

Возможно, Ваши неприятности, действительно, связаны с появлением
spurious solutions. Природа дела такова. При численном поиске собственных значений самосопряженного оператора, лежащих в дырке существенного спектра, появляются численные результаты, даже не близкие к настоящим собственным значениям. естественно, ни к чему разумному они не сходятся. Замечено давно. Обзор, ссылки, а также некоторые методы, как с этим безобразием бороться см в

Levitin, Michael; Shargorodsky, Eugene Spectral pollution and second-order relative spectra for self-adjoint operators. IMA J. Numer. Anal. 24 (2004), no. 3, 393--416.

[Freude]

Ясно, но к подобным проблемам может привести просто неустойчивость. Чем отличается одно от другого: неустойчивость разностной схемы от ложных решений? Точнее как отличить одно от другого в решениях. Общее у них то, что решение завиcит сильно от шага и в том и в другом cлучае.

Спасибо за ссылку, интересная работа.

[Zai]

Freude писал(а):

Собственные значения получаются сильно зависящими от шага сетки. В чем проблема? Другими словами решение не проявляет сходимости при увеличении шага, а даже наоборот.

В МКЭ деформируемого тела это связано с потерей аппроксимации. Если собственный вектор имеет синусоидальное по длине решение, а число точек в аппроксимации на длине волны меньше необходимого, то собственные значения будут зависеть от разбиения(возможно Вам нужно еще больше измельчить сетку). Как у Вас сходимость низших собственных значений? Если они тоже плавают, то нужно проверять граничные условия.

[Freude]

С нижними как раз и беда. У Самарского написано об устойчивости, о том, что разностная схема устойчива не всегда, только при некоторых значениях коэффициентах уравнения. С другой стороны последнее время появляются работы о ложных решениях, которые при угущении сетки тоже ведут себя неадекватно. Как понять что есть что?

Цитата:

Если собственный вектор имеет синусоидальное по длине решение, а число точек в аппроксимации на длине волны меньше необходимого, то собственные значения будут зависеть от разбиения(возможно Вам нужно еще больше измельчить сетку)

Сейчас при уплотнении сетки ошибка возраcтает. Может она возрастает немонотонно и при еще большем уплотнении толжна пойти на спад, вы это имеете в виду?

[Zai]

Freude писал(а):

С нижними как раз и беда.

Может быть, что разностная схема не имеет аппроксимации(ошибка алгоритма или программы)
Попробуйте проверить метод решения на одномерной задаче, где есть аналитическое решение.