теория вероятностей

[Joe Black]

Cash в сообщении #1198602 писал(а):

Давайте я буду пить рюмку за каждую вашу победу, а мой друг за каждую остановку лифта. Кто из нас больше выпьет?

В среднем одинаково

[DeBill]

Joe Black в сообщении #1198563 писал(а):

Вы намекаете на мультиномиальное распредление??

Нет. Я хочу найти вероятность того, что на седьмом этаже никто не выйдет - и тогда найдется вероятность того, что там кто-нибудь да выйдет. Этого достаточно, чтобы найти матожидание случайной величины "количество остановок на седьмом этаже".

[Joe Black]

Я думаю, что нужно применять сочетания с повторениями. То есть обозначаем лифты нулями, а пассажиров единицами и переставляем их. Эквивалентно задаче - сколько варинтов положить неразличимые шары по ящиком и в ящике любое число шаров

[Joe Black]

DeBill в сообщении #1198716 писал(а):

Joe Black в сообщении #1198563 писал(а):

Вы намекаете на мультиномиальное распредление??

Нет. Я хочу найти вероятность того, что на седьмом этаже никто не выйдет - и тогда найдется вероятность того, что там кто-нибудь да выйдет. Этого достаточно, чтобы найти матожидание случайной величины "количество остановок на седьмом этаже".

Вероятность, что там никто не выйдет $P_0=\left( \dfrac{9}{10} \right)^{12}$, тогда вероятность, что кто-то там выйдет $P=1-\left( \dfrac{9}{10} \right)^{12}$

[Yadryara]

Точно! И до решения задачи остался крохотный шажок...

[Joe Black]

Рассмотрим случайные величины: $X_1,X_2,\cdots,X_10$ принимающие значение 1, если на данном этаже была остановка и 0 если не было. Тогда кол-во остановок лифта будет $N=X_1+X_2+\cdots +X_{10}$ и $\mathop{{}\mathbb{E}}N=\mathop{{}\mathbb{E}}(X_1+X_2+\cdots +X_{10})=10\cdot \left( 1-\left(\dfrac{9}{10}\right)^{12} \right)$

[Yadryara]

Здорово, что Вы вернулись и вдвойне здорово, что Вы правильно решили!

Желаете ли вернуться к тому способу, который мы обсуждали раньше? То есть правильно вычислить не только $P(1)$ и $P(2)$, но и $P(3)$, $P(4)$, ..., $P(10)$ и прийти к тому же самому ответу.

[Joe Black]

Спасибо, хотелось бы

[Yadryara]

ОК. Очень надеясь, что Вы сможете решить, даю конкретную, но туманную подсказку

Вероятность того, что лифт остановится на всех десяти этажах(со 2-го по 11-й) $P(10) = 0.006187104$

[Joe Black]

Вроде понял, надо использовать условные вероятности. Для четырёх этажного дома, выходят на трёх:

$$P_1=C_3^1 \left( \dfrac13 \right)^{12}$$

$P_2=P(A\cdot B)$, где событие А - выйдут на двух этажах как угодно, событие В - на каждом из двух этажей будет остановка:

$$P_2=P(A)\cdot P(B|A)=C_3^2 \left(\dfrac23\right)^{12}\left(1-C_2^1 \left( \dfrac12 \right)^{12} \right)$$

и $P_3=P(C\cdot D)$, где событие С - выйдут на трёх этажах как угодно, событие D - на каждом из трёх этажей будет остановка:

$$P_3=P(C)\cdot P(D|C)=C_3^3 \left(\dfrac33 \right)^{12} \left( 1 - C_3^2 \left( \dfrac23 \right)^{12}\right)$$

в сумме получается 0,999994355, считаю в LibreOffice Calc. Этот же способ для пятиэтажного дома даёт в сумме 0,9985346794

[Yadryara]

Эх, теперь Вы уже не только $P_3$, но и $P_2$ считаете неправильно.

Хорошо, возьмём пока 4-этажный дом. Сколько у нас элементарных исходов? $3^{12} = 531\, 441$. Обозначим за $k_i$ количество исходов с соответствующим количеством остановок лифта.

Тогда

$k_1 = 1\cdot{C_3^1} = 3$

$P_1 = \dfrac3{3^{12}}$


$k_2 = (2^{12}-C_2^1)C_3^2 = 4094\cdot3 = 12\,282$

$P_2 = \dfrac{12282}{3^{12}}$


$k_3 = 3^{12}-k_2-k_1 = 519\,156$

$P_3 = \dfrac{519156}{3^{12}}$


$P_1 + P_2 + P_3 = \dfrac3{3^{12}} + \dfrac{12282}{3^{12}} + \dfrac{519156}{3^{12}} = \dfrac{531 441}{531 441} = 1$


Если угодно, приведу более детальный расчёт $k_2$ И $k_3$.

[Joe Black]

Общее число элементарных исходов не надо делить на $12!$ ? Они же неразличимы

-- 25.03.2017, 14:03 --

Хотелось бы подробней про $k_2$ и $k_3$

[Yadryara]

Joe Black в сообщении #1203370 писал(а):

Общее число элементарных исходов не надо делить на $12!$ ?

Не надо. При всём желании $3^{12}$ не разделится на $12!$

Как распределятся наши исходы? Все $3^{12}$ ?

$k_1 = 3$.

Это очевидно. Лифт сделает одну остановку, если все $12$ пассажиров выйдут на 2-м, либо на 3-м, либо на 4-м этаже:

1. $222222222222$

2. $333333333333$

3. $444444444444$


$k_2 = 12282$. Здесь не так очевидно, но тоже можно расписать.

1. $222222222223$

2. $222222222232$
...
12. $322222222222$

Один выйдет на 3-м, все остальные — на 2-м. $C_{12}^1=12$ исходов.

13. $222222222233$

14. $222222222323$
...
78. $332222222222$

Двое выйдут на 3-м, все остальные — на 2-м. $C_{12}^2=66$ исходов.

79. $222222222333$

80. $222222223233$
...
298. $333222222222$

Трое выйдут на 3-м, все остальные — на 2-м. Всего $C_{12}^3=220$ исходов.

Продолжая в том же духе, получим $C_{12}^1 + C_{12}^2 + C_{12}^3 + ... + C_{12}^{11} = 4094$

Но люди могут выходить не только этих двух этажах, 2-м и 3-м, но ещё и на 2-м и 4-м, а также на 3-м и 4-м. Значит исходов будет втрое больше. Окончательно $k_2 = 4094\cdot 3= 12282$.


$k_3 = 519156$. Рассматриваем аналогично $k_2$. Только считать, пожалуй, ещё сложнее. Приведу пока только в числовом виде:

$132\cdot3 + 660\cdot6 + 1980\cdot6 + 2970\cdot3 + 3960\cdot6 + 7920\cdot6 + 5544\cdot6 + 13860\cdot6 + 18480\cdot3 + 16632\cdot3 + 27720\cdot6 + 34650\cdot1 = 519 156$

Вот мы и рассмотрели все исходы: $3 + 12282 + 519156 = 531441 = 3^{12}$.

[Joe Black]

Спасибо! Всё понял