Критерий линейной независимости в V*

[SomePupil]

$V-$ линейное пространство над произвольным полем $K.$ Доказать, что $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ будет базисом в $V^*$ тогда и только тогда, когда не будет существовать такого ненулевого вектора $v\in V$, что $\varepsilon_1(v)=\cdots=\varepsilon_n(v)=0.$

В одну сторону это утверждение доказывается просто: достаточно рассмотреть базис в $V,$ по отношению к которому наш базис сопряжен. Там у каждого ненулевого вектора будет хотя бы одна ненулевая координата, которая неизбежно вылезет среди чисел $\varepsilon_i(v)$.

А вот другой конец палки оказался довольно крепким. Я пробовал отталкиваться от противного: допустил, что $\lambda_i\varepsilon_i \equiv 0$, то есть, что некоторая линейная комбинация наших функций $-$ нуль. Мне казалось, что подставляя в этот нуль в качестве аргументов различные $v\in V$, я смогу найти такое $v\in V$, что будет $\varepsilon_i(v)\ne 0.$ Но все мои попытки пока что были безуспешны.

[mihaild]

SomePupil в сообщении #1197371 писал(а):

Доказать, что $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ будет базисом в $V^*$ тогда и только тогда, когда не будет существовать такого ненулевого вектора $v\in V$, что $\varepsilon_1(v)=\cdots=\varepsilon_n(v)=0.$

В таком виде доказать не получится, т.к. это неправда. Возьмите $V = K = V^* = \mathbb{R}$, $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 1$.

Можно доказать, что эта система порождает всё пространство (до базиса останется линейная независимость). Для этого надо заметить, что функционал полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Пишем матрицу $n \times k$ ($k$ - размерность пространства), $A_{i,j} = \varepsilon_i(e_j)$, и смотрим на ее ранг (сравниваем его с $k$).

[SomePupil]

mihaild в сообщении #1197379 писал(а):

В таком виде доказать не получится, т.к. это неправда. Возьмите $V = K = V^* = \mathbb{R}$, $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 1$.

Справедливое замечание $-$ я по невнимательности пропустил условие $\text{dim}\,V = n.$ Но как же мне повезло, что у Вас есть талант решать задачи с переменными условиями :)

Дело в том, что Ваша подсказка работаем и в этом, новом случае. Выбираем в $V$ произвольный базис $\{e_j\}$ Составляем матрицу $A_{ij} = \varepsilon_i(e_j)$ размера $n\times n.$ Из нашего условия вытекает, что эта матрица невырожденна $-$ её строки составляют базис в $\mathbb R^n.$ Следовательно, любая линейная функция из $V^*$ представляется в виде линейной комбинации $\{\varepsilon_i \},$ то есть, эта система сюръективна. А когда у нас в системе $n$ векторов, то мы говорим сюръективность, подразумеваем $-$ инъективность! И, наоборот, говорим инъективность, подразумеваем $-$ сюръективность!