2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение27.02.2017, 12:50 
Аватара пользователя
Вопрос вполне праздный: если взять за аксиому отрицание континуум-гипотезы, то можно ли утверждать, что между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ умещается бесконечно много промежуточных мощностей?

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение27.02.2017, 12:58 
Аватара пользователя
Нет, есть модели $ZFC$ в которых $\mathfrak{c} = \aleph_2$.

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение27.02.2017, 13:05 
Аватара пользователя
popolznev в сообщении #1195745 писал(а):
то можно ли утверждать, что между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ умещается бесконечно много промежуточных мощностей?
Нельзя. Но нельзя и опровергнуть.
kp9r4d в сообщении #1195746 писал(а):
Нет, есть модели $ZFC$ в которых $\mathfrak{c} = \aleph_2$.
Равно как и такие, где $\mathfrak{c}=\aleph_3$, или $\mathfrak{c}=\aleph_4$, и так далее.

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение27.02.2017, 13:05 
Аватара пользователя
Нет. $\mathbf{ZFC}{+}\neg\mathbf{CH}$ совместна с утверждением $\mathfrak{c} = \aleph_2$, то есть, что существует только одна промежуточная мощность. То же для любого конечного числа.

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение27.02.2017, 13:17 
Аватара пользователя
Ага, замечательно. kp9r4d, Mikhail_K, Xaositect, спасибо!

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение27.02.2017, 15:20 
Аватара пользователя
Насколько я помню из Википедии, между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ можно насовать любое наперёд заданное число мощностей. И между $\mathfrak{c}$ и $2^\mathfrak{c}$ - опять любое. И так далее.

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение28.02.2017, 10:04 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #1195763 писал(а):
Насколько я помню из Википедии, между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ можно насовать любое наперёд заданное число мощностей. И между $\mathfrak{c}$ и $2^\mathfrak{c}$ - опять любое. И так далее.
Получается, что если мы закроем аксиомой первую дыру (то есть положим, что $2^{\aleph_0} = \aleph_1$), то всё равно ещё останется много дыр, и если б мы захотели закрыть их все, то понадобилось бы бесконечно много аксиом. А вот если взять за аксиому обобщенную континуум-гипотезу, то останутся ли ещё дыры?

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение28.02.2017, 15:38 
Аватара пользователя
popolznev в сообщении #1195916 писал(а):
останутся ли ещё дыры?
А что Вы называете "дырой"?

Вообще, в ZFC о функции $\tau\to 2^{\tau}$ на классе бесконечных кардиналов известно, что она неубывающая, и что она не может принимать некоторых значений (например, $2^{\aleph_0}\neq\aleph_{\omega}$; подробнее можно посмотреть, например, в книге К. Куратовского и А. Мостовского "Теория множеств"), а в остальном она, если не ошибаюсь, произвольная.

Добавление. И, конечно, $2^{\tau}>\tau$.

 
 
 
 Re: Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом
Сообщение28.02.2017, 18:26 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1196004 писал(а):
А что Вы называете "дырой"?
Ситуации неопределенности, подобные тому, что было с континуум-гипотезой: у нас есть две известные мощности, и мы не можем ни доказать, ни опровергнуть, что между ними есть ещё что-то.

Что-то плохо я формулирую.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group