Оценка для радиальной производной гармонической функции

[armez]

Максимум модуля гармонической в верхней полуплоскости функции на полуокружностях с центром в начале координат стремится к нулю с ростом их радиуса. Чем ограничен максимум модуля производной этой функции по радиусу на таких полуокружностях? (Вопрос возник в связи с решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в верхней полуплоскости с данными на прямой у=0. Известно, что функция стремится к нулю с ростом расстояния до начала координат. Нужно доказать, что в формуле Грина интеграл по полуокружности с её производной будет стремиться к нулю.)

[vpb]

Только сейчас увидел эту тему. Я не специалист, но, по моему, для частных производных в точке $(x,y)$, где $y>0$ (и, следовательно, для производной по радиусу тоже) должна быть оценка вида $s(r)/y$, где $r$ --- расстояние до нуля, $s(r)$ --- функция, стремящаяся к нулю на бесконечности. А разобраться в этом вопросе, думаю, можно, почитав кое-что из Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, а именно по половине из 1-й главы, 2-й главы, и Добавления.

Я так примерно рассуждал. Функция, гармоническая в односвязной области --- это действительная часть некоторой голоморфной. Притом, если гармоническая чем-то ограничена, то голоморфная соответствующая тоже ограничена, тем же самым числом, с точностью до умножения на какую-то абсолютную константу, и с точностью до добавления чисто мнимой константы. Ну, а потом надо применить оценку для производной голоморфной функции, по формулам Коши для производной.

[Vince Diesel]

Для гармонической функции есть формула Пуассона, аналогичная формуле Коши.

vpb в сообщении #1202809 писал(а):

Притом, если гармоническая чем-то ограничена, то голоморфная соответствующая тоже ограничена, тем же самым числом, с точностью до умножения на какую-то абсолютную константу

Вообще говоря не будет. Рассмотрим функцию $f(z)=\ln z=\ln r+i\varphi $ в верхней полуплоскости. Ее мнимая часть ограничена, а действительная нет.

[armez]

vpb, Vince Diesel, спасибо за участие. Ответ на вопрос удалось найти в учебнике Владимирова (теорема из 24.10 о поведении гармоничесой функции на бесконечности).

[Vince Diesel]

armez в сообщении #1206617 писал(а):

Ответ на вопрос удалось найти в учебнике Владимирова (теорема из 24.10 о поведении гармоничесой функции на бесконечности).

Так там теорема для внешности шара. О половине шара ничего не сказано.

[Vince Diesel]

К тому же еще вопрос, будет ли "производная" (какая, кстати?) интегрируема на полуокружности. Возьмем все тот же пример гармонической функции, равной углу: $u(x,y)=\varphi(x,y)$. Непосредственно проверяется ,что $u'_x(0,y)=-\frac1{2y}$, а это неинтегрируемая на кривой особенность. Так что без каких-то предположений о гладкости гармонической функции на границе, оценки лучше, чем $C/y$, приведенной vpb, не получится.