Эйлеровы кирпичи с мнимым ребром

[Andrey Bogatyryov]

Эйлеров кирпич - это параллелепипед с целыми (или рациональными) ребрами и лицевыми диагоналями. Фактически, если $x, y, z$ - ребра, a $a, b, c$ - его диагонали, то поиск эйлеровых кирпичей можно свести к поиску решений системы диофантовых уравнений:

$$x^2+y^2=a^2$$

$$y^2+z^2=b^2$$

$$x^2+z^2=c^2$$

(1)
Известно несколько подобных кирпичей, например, со сторонами (240, 117, 44).

А что известно насчет системы, немного отличной от предыдущей?

$$x^2+y^2=a^2$$

$$y^2-z^2=b^2$$

$$x^2-z^2=c^2$$

(2)
Назовем это эйлеровым кирпичем с мнимой стороной $iz$, такой, что $Im(iz)=z\in\mathbb{N}$. $b, c$ тоже могут оказаться мнимыми, кстати, но с целой мнимой частью.
Таких параллелепипедов достаточно много, например, со сторонами (20, 15, 12i), да и находятся они не трудно. И может ли быть в таком параллелепипеде целочисленная или мнимая с целой мнимой частью пространственная диагональ ($\sqrt{x^2+y^2-z^2}$), т.е., найдется ли совершенный кирпич с мнимым ребром? Все-таки, система (2) кажется несколько проще, чем система уравнений обычного, действительного кирпича (1).

[Коровьев]

Попытки решения системы уравнений полного кубоида в мнимых полях были. К примеру:
A PERFECT CUBOID IN GAUSSIAN INTEGERS,
W. J. A, Colman, http://www.fq.math.ca/Scanned/32-3/colman.pdf
Найдено лишь хоть одно решение, мне неизвестно.
На мой взгляд, там поиск ничем не проще.
Я попробую показать общий подход к этой задаче.
Пусть существует решение системы уравнений кубоида с единичной "главной диагональю" в некотором алгебраическом поле в рациональных алгебраических числах

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} 1 - a^2 = m^2 \\ 1 - b^2 = n^2 \\ 1 - c^2 = k^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 1 \\ \end{array} \right. \]$

Предложение. (Примем на веру)
Если в некотором алгебраическом поле выполняется в рациональных алгебраических числах

$$\[ 1 - n^2 = m^2 \] $
то существует единственное алгебраическое рациональное $t$, что

$$\[ n = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }},m = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \] $

Отсюда следует
$$\[ a = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }},b = \frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }},c = \frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }} \] $

Подставляя в уравнение "главной диагонали" получим уравнение

$$\[ \left( {\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{1 - z^2 }}{{1 + z^2 }}} \right)^2 = 1 \] $

Это уравнение необходимое и достаточное условие для существования рационального решения исходной системы.
Запишем его так

$$\[ x^4 - 2\frac{{2\left( {1 + z^2 y^2 } \right)\left( {z^2 + y^2 } \right) + 8z^2 y^2 }}{{\left( {1 + z^2 y^2 } \right)^2 + \left( {z^2 + y^2 } \right)^2 - 8z^2 y^2 }}x^2 + 1 = 0 \] $

или

$$\[ x^2 = \frac{{2\left( {1 + z^2 y^2 } \right)\left( {z^2 + y^2 } \right) + 8z^2 y^2 \pm \left( {1 + z^2 } \right)\left( {1 + y^2 } \right)\sqrt {16z^2 y^2 - \left( {1 - z^2 } \right)^2 \left( {1 - y^2 } \right)^2 } }}{{\left( {1 + z^2 y^2 } \right)^2 + \left( {z^2 + y^2 } \right)^2 - 8z^2 y^2 }} \] $

Существование рационального $x$ возможно только в том случае, если подкоренное выражение будет квадратом рационального числа. Мы можем найти даже параметрические решения для подкоренного выражения и проверить, не будет ли и $x$ рациональным, но мы не можем найти все решения для подкоренного выражения.
Отсюда моё мнение, доказать этим методом отсутствие полного кубоида невозможно, доказать же существование полного кубоида возможно только контрпримером.