показательное уравнение

[RLVV]

Решите уравнение $4^x+6^x+8^x+2016^x=5^x+7^x+9^x+2013^x$.Понятно, что $x=0$ и $x=1$ есть корни этого уравнение.А как доказать, что других корней нет?

[bot]

А для кого олимпиада?
Если $a>b$ , то $xb^{x-1}(a-b)<a^x-b^x<xa^{x-1}(a-b)$ при $x<0\vee x>1$ и наоборот при $0<x<1.$

Upd. Пришлось ещё раз править - лопухнулся в определении монотонности, как простой инженер студент-недоучка.

[Sergic Primazon]

RLVV в сообщении #1193782 писал(а):

Решите уравнение $4^x+6^x+8^x+2016^x=5^x+7^x+9^x+2013^x$.Понятно, что $x=0$ и $x=1$ есть корни этого уравнение.А как доказать, что других корней нет?

по н. Бернулли:

1. $ x >1 \cup x<0$

$$4^x=5^x\left(1-\dfrac{1}{5} \right)^x > 5^x\left( 1-\dfrac{x}{5}\right )\ , \ 6^x=7^x\left(1-\dfrac{1}{7} \right)^x > 7^x\left( 1-\dfrac{x}{7}\right )\ , \ 8^x=9^x\left(1-\dfrac{1}{9} \right)^x > 9^x\left( 1-\dfrac{x}{9}\right ) $$

$$ 2016^x = 2013^x \left( 1+\dfrac{3}{2013}\right )^x > 2013^x \left ( 1+\dfrac{3x}{2013}\right )$$

$$4^x+6^x+8^x+2016^x > 5^x+7^x+8^x+2013^x+x\cdot(3\cdot 2013^{x-1}-5^{x-1}-7^{x-1}-9^{x-1})> 5^x+7^x+8^x+2013^x$$

2. $0< x <1$

$$4^x=5^x\left(1-\dfrac{1}{5} \right)^x < 5^x\left( 1-\dfrac{x}{5}\right )\ , \ 6^x=7^x\left(1-\dfrac{1}{7} \right)^x < 7^x\left( 1-\dfrac{x}{7}\right )\ , \ 8^x=9^x\left(1-\dfrac{1}{9} \right)^x < 9^x\left( 1-\dfrac{x}{9}\right ) $$

$$ 2016^x = 2013^x \left( 1+\dfrac{3}{2013}\right )^x < 2013^x \left ( 1+\dfrac{3x}{2013}\right )$$

$$4^x+6^x+8^x+2016^x < 5^x+7^x+8^x+2013^x+x\cdot(3\cdot 2013^{x-1}-5^{x-1}-7^{x-1}-9^{x-1})< 5^x+7^x+8^x+2013^x$$