Наименьшее целое число...

[Ktina]

Найдите наименьшее целое число $n$ представимое в виде суммы $k$ попарно различных простых чисел для любого натурального $k\leqslant 6$

[gris]

Тут вопрос такой: само оно с собой попарно различно? То есть должно быть простым?
Если нет, то на целых три больше Великого Ответа. Но как-то не очень. Раз слагаемые простые, то пусть и само будет простым, тем более, что это не усложняет рассуждения и переборы.
Если да, то искать его надо в двойняшках.

И вот моя попытка получить нематч в Энциклопедии:
$2,5,19,31,43,63,...$ - наименьшее простое число, <дальше, как у ТС>, где $k$ не больше номера в последовательности