Неравенство для случайных величин: P(X=0)<=...

[Tik-tak]

Доказать, что для любой неотрицательной случайной величины \xi с конечной дисперсией выполняется неравенство:
P \{\xi =0 \} \leqslant \frac {D\xi} {D\xi+(M\xi)^2}

[Henrylee]

Пусть $F(x)$ функция распределения $\xi$. Очевидно, $F(0)<1$. Рассмотрим некоторую функцию распределения

$$ G(x)=\frac{F(x)-F(0)}{1-F(0)},\quad x\ge 0 $$

Очевидно

$$ \left(\int\limits_0^\infty x\,dG(x)\right)^2\le\int\limits_0^\infty x^2\,dG(x), $$

откуда и следует нужное утверждение.

Добавлено спустя 9 минут 15 секунд:

Замечание: Функцию распределения считаю непрерывной справа

[Tik-tak]

Спасибо, не думал, что всё так просто и красиво.

[Henrylee]

Порядка ради еще нужно добавить, что есть одно исключение: когда

$$ P\{\xi=0\}=1 $$

В этом случае правая часть неравенства не определена (поэтому я и написал $F(0)<1$).