Здравствуйте. Прошу помочь с понимаем определения функциональной независимости у Зорича, т.1, т.к., как мне кажется, это определение однозначно понять нельзя.
Вот вариант определения у Зорича из русскоязычного и англоязычного издания:


Я пытаюсь записать это в кванторном виде, чтобы было понятно, где и какие окрестности. Но у меня получается, что либо следующие за этим теоремы доказать нельзя, либо линейная независимость не является частным случаем функциональной. Делал, например, так. Пусть

, где

,

; положим

, т.е.

-- компоненты

, и пусть

, где

.
Мой неудачный вариант 1. Система функций

функционально независима в окрестности

точки

, если

Этот вариант плох тем, что для всех

точки

пробегут только

, и потому остается произвол в определении функции

на

где ее можно сделать ненулевой. Тогда, стало быть, возможен такой вариант:
Мой вариант 2. Система функций

функционально независима в окрестности

точки

, если

Может, функциональная независимость формулируется не в какой-то конкретной окрестности точки

, а так, "вблизи", без указания окрестности. Но тогда нельзя будет получить линейную независимость в частном случае:
Мой вариант 3. Система функций

функционально независима "вблизи" точки

, если

Но, возможно, если как-то изменить третий вариант, то подходит именно третий.