Неравенство

[arqady]

Trius писал(а):

Пусть $a,b,c>0$и $a+b+c=3$. Доказать неравенство $\frac{a^3}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{c^3}{(c+b)(a+c)}\geq \frac 3 4$

$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{a(a+b)(a+c)}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum_{cyc}a(a+b)(a+c)}.$$

Остаётся доказать, что

$$4(a^2+b^2+c^2)^2\geq\sum_{cyc}a\cdot\sum_{cyc}(a^3+a^2b+a^2c+abc),$$

что эквивалентно следующему:

$$\sum_{cyc}(3a^4-2a^3b-2a^3c+3a^2b^2-2a^2bc)\geq0,$$

что очевидно верно.
Вот так проще:

$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}\geq\frac{a+b+c}{4}\Leftrightarrow\sum_{cyc}(3a^3b+3a^3c-2a^2b^2-4a^2bc)\geq0,$$

что очевидно верно.