Задача про непрерывность функции

[Н18]

помогите решить задачу:
функция f(x) определена на отрезке [0;1] следующим образом: она равна нулю во всех точках некоторого нигде не плотного совершенного множества; на каждом смежном интервале этого множества функция положительна и имеет своим графиком полуокружность, диаметром которой служит этот смежный интервал. В каких точках эта функция непрерывна?

ответ: непрерывна на всём [0;1]

как это доказать?

[незваный гость]

По определению: для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такая, что…

А дальше надо рассмотреть два случая: $x$ принадлежит множеству, и не принадлежит. Если принадлежит, то в некоторой окрестности значение функции будет мало, а если не принадлежит, то в некоторой окрестности не будет точек множества.

Попробуйте нарисовать функцию, взяв в качестве примера канторово множество. Я думаю, Вам станет понятнее…

[Brukvalub]

Проверить определение непрерывности в каждой точке отрезка.

[Н18]

а как проверить для точек полуокружностей?

[Brukvalub]

Это проще всего - ведь полуокружность является графиком функции с известной аналитической записью.

[Н18]

я обозначила за Е некоторое нигде не плотное совершенное множество, а эти полуокружности за В. решаю по определению Гейне, т.е. через пределы. для этого рассматриваю 4 случая. первый - $x_0$ из Е и $x_n$ из Е. второй - $x_0$ из Е, а $x_n$ из В и ещё два случая. преподаватель просит объяснить почему это возможно. почему я могу взять их из одного множества или вот из разных..
можете подсказать?
и вообще расписать доказательство на примере канторова множества?

[незваный гость]

Определение предела через последовательности здесь работает плохо. Поскольку надо доказывать для последовательностей из интервала, а не из $E$ и $[0,1] \setminus E$. На языке $\varepsilon$-$\delta$ куда проще.

Н18 писал(а):

и вообще расписать доказательство на примере канторова множества?

А заодно и с профессором поговорить, уж простоите за иронию. Доказательство для канторового множества ничем — ничем! не отличается от доказательства для произвольного $E$.

Да, я предлагал Вам рассмотреть канторовское множество. Но я предлагал нарисовать функцию. У Вас явно проблемы с тем, как функция устроена. Нарисуйте график (частично), посмотрите.

[Н18]

я рисовала. именно преподаватель сказала написать доказательство для канторова множества, я вот тоже не поняла в чём разница. отличие только в том, что чертёж более конкретный.
вы бы не могли предоставить докозательство подробно? а то меня преподаватель совсем запутал и я уже не понимаю чего она хочет.

[незваный гость]

Н18 писал(а):

вы бы не могли предоставить докозательство подробно?

Правила не разрешают…

Н18 писал(а):

а то меня преподаватель совсем запутал и я уже не понимаю чего она хочет.

Вам посоветовали путь. Вы уже сделали первый шаг? Покажите, и посмотрим что можно сделать дальше…