Четвёрки натуральных чисел (по мотивам задачи С. Берлова)

[Ktina]

Найдите все четвёрки натуральных чисел $a, b, c, d$ таких, что

$$a!+b!+c!=5^d$$

(по мотивам задачи С. Берлова)

[gris]

Ну $(2,2,1,1);(2,1,2,1);(1,2,2,1)$ видно сразу.
(Можно бы, конечно, ещё $0!$ приплести, но это неинтересно.)
А что ещё? Правая часть кончается на $25$. Осмотрев первые пять факториалов, понимаем, что кроме $4!+1!+n!=25+n!\big|n>9$ вариантов нет. Догадываемся, что правая часть не может кончаться на $125$, а только на $625$. То есть факториал должен оканчиваться на $600$. Да много ли таких? Один только: $12!$. Проверяем. Увы.
А как поизящнее? Из соображений делимости?