2)Как можно доказать полноту метрического пространства, если даже не знаешь ее метрики?
мыслей абсолютно никаких. может здесь опечатка?
Может, имеется в виду, что вы знаете какое-нибудь объемлющее полное метрическое пространство (метрика которой индуцирует метрику на вашем исходном), и тогда проверка полноты вашего пространства сводится к проверке замкнутости в объемлющем.