Прообраз Фурье функции с ограниченным носителем

[Math_er]

Доброго времени суток!

Сразу скажу, что с серьезной теорией преобразования Фурье познакомился совсем недавно. Поэтому могу писать полный бред.

В рамках одной задачи у меня возник следующий вопрос: рассмотрим некоторую функцию $F:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ с каким-нибудь ограниченным носителем $U\subset\mathbb{R}^k.$ Пусть при этом наша функция достаточно хорошая, чтобы можно было говорить о преобразовании Фурье (не хочу тащить константы, поэтому будет рассматривать преобразование Фурье без постоянных перед интегралов). В этом случае, имеет место такое представление:

$$e^{x_1+...+x_k}F(\bar{x})=\int_{\mathbb{R}^k}\eta(\bar{s})e^{-\sum_{j=1}^k is_jx_j}d\bar{s},\eqno(1)$$

где $\eta(\bar{s})$ - некоторая функция (по факту, прообраз Фурье функции $e^{x_1+...+x_k}F(\bar{x})$). То есть мы можем взять любую функцию $F(\bar{x})$ из класса Шварца, ограничить её носитель, как нам угодно, и получить соответствующую ей (в смысле (1)) некоторую функцию $\eta(\bar{x})$. Теперь обернём это равенство:

$$\eta(\bar{x})=\int_{U}F(\bar{s})e^{\sum_{j=1}^k s_j(1+ix_j)}d\bar{s},\eqno(2)$$

где мы учли, что интеграл равен нулю вне множества $U.$
Вопрос: а правда ли, что для любой достаточно хорошей функции $\eta(\bar{x})$, найдется соответствующая ей функция $F(\bar{x})$ (в смысле равенства (2)), носитель которой будет в точности $U$ ? По сути, вопрос состоит в том, можно ли обернуть (2), не теряя условие ограниченного носителя у $F$. И как тогда будет выглядеть обратная зависимость $F$ от $\eta$? Если бы никаких обременений на носитель функции не было, то ответ очевидно следует из (1) - это и есть искомое соответствие.

Заранее спасибо.