Доказать неравенство

[LyuboHr]

Доказать, что если $\;a>b>1$, то ${a^b}^a>{b^a}^b$.

[sa233091]

Попробуйте прологорифмировать нер-во

[sa233091]

$\[ a^{b^a } > b^{a^b } \Leftrightarrow a\ln b + \ln \ln a > b\ln a + \ln \ln b \]$
1 случай (если $\[a\ln b > b\ln a\]$): нер-во очевидно
2 случай (если $\[a\ln b < b\ln a\]$):
$\[ \begin{array}{l} a\ln b < b\ln a, \\ \ln a + \ln \ln b < \ln b + \ln \ln a, \\ \ln \ln a - \ln \ln b > \ln a - \ln b, \\ \end{array} \]$
т.к. $\[ F(x) = \frac{{\ln x}}{{x - 1}} \]$ убывает на $\[ (1;\infty ) \]$, то $\[ \frac{{\ln (a)}}{{a - 1}} < \frac{{\ln (b)}}{{b - 1}} \]$,
следовательно $\[ \ln a - \ln b > b\ln a - a\ln b \]$
$\[ \begin{array}{l} \ln \ln a - \ln \ln b > \ln a - \ln b > b\ln a - a\ln b, \\ \ln \ln a + a\ln b > \ln \ln b + b\ln a \\ \end{array} \]$