Мощность моделей

[pink Elephant]

Пусть $T=(M, v^T(\sigma))$ -- бесконечная модель сигнатуры $\sigma$ и мощность $\alpha$ такая, что $\alpha > \left\lvert M\right\rvert$. Доказать, что существует модель $G\equiv T$ такая, что если $\varphi(x)$ выполнена в $T$ на бесконечном количестве элементов, то $\varphi(x)$ выполнена на $\alpha$ различных элементах в модели $G$.
Ну, понимаю, что надо начать с теоремы Лёвенгейма-Скулема, чтобы показать, что такая модель $G$ будет существовать. А вот что делать дальше не знаю, какую теорему или свойство применять?

[pink Elephant]

Я разобрался, все оказалось просто -- зададим функцию $\varphi(x)=\forall y((x=y)\vee \neg(x=y))$. Не трудно заметить, что она тождественно истинна. Она выполнима на всех элементах $T$(т. е. на бесконечном числе элементов, так как модель бесконечна). Потом используем теорему Лёвенгейма-Скулема, ту часть, где речь идет о "повышении"(если существует бесконечная модель, то существует эквивалентная ей модель любой мощности выше или такой же). Пусть $G$ имеет мощность $\alpha$, тогда функция $\varphi(x)$ выполнима на всех элементах $G$(так как функция тождественно истинна) и количество различных элементов, на которых выполнена $\varphi(x)$ будет как раз $\alpha$. Разобрался еще вчера, но решил написать сюда, может кому понадобится.

[mihaild]

Тут скорее всего требовалось для произвольной $\varphi(x)$, выполненной на бесконечном числе элементов, построить такую модель (для этого придется лезть внутрь построения модели и его слегка менять).