Улучшение сходимости интеграла

[Viktor92]

Доброе время суток.В процессе решения уравнения Лапласа с сингулярной задачей Штурма-Лиувилля методом Фурье, чтобы найти коэфициетны разложения по собственным функциям (по сути обратное преобразование Фурье), получился интеграл вида
$\int\limits_{0}^{\infty}\sin \nu x dx$, которые расходится, но я применил трюк, который пару раз встречал и ранее $\lim\limits_{\beta \to 0} \int\limits_{0}^{\infty} \exp(-\beta x)\sin \nu x dx$ и получил $1/\nu$. Ответ сошелся, можете объяснить что это за трюк с точки зрения математики и когда такое допустимо применять,а то воспринимается как какая-то магия