Найти область сходимости ряда.

[Ivan 09]

Найдите область сходимости ряда

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {4^n \cdot (x+1)^2^n }{n}$$

В свое время пропустил и полностью отсутствует понимания и какие-либо систематические знания по этой теме.
Но я пытаюсь разобраться.
Правильно ли я понимаю, чтобы выполнить задание нужно
1. найти
$\lim_{n\to\infty } \frac{u_n_+_1(x)}{u_n(x)}$
у меня получилось
$\lim_{x\to\infty } \frac{u_n_+_1(x)}{u_n(x)}=4(x+1)^2$
2. Ряд сходится при
$4(x+1)^2<1$
Значит
$-\frac3 2< x<-\frac{1}{2}$
Но где-то слышал, что также надо исследовать ряд на сходимость на концах отрезка, чтоб получить окончательный ответ?
Или ответ уже получен?

[Math_er]

Ivan 09 В случае, когда значение Вашего предела равно единицы, признак Д'Аламбера не может ничего гарантировать. Поэтому, этот случай стоит проверять отдельно, пользуясь иными рассуждениями.

[Dan B-Yallay]

Ivan 09
Что получится, если в ряд подставить правую границу интервала? Что-нибудь знакомое?
А теперь правую левую.

[Sinoid]

А на краях вообще никаких проблем нет, если ну хоть чуток знать тему: ряд обращается в ...

[Ivan 09]

Math_er
Правильно понимаю, что тогда нужно находить
$\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{a_n}$

исправил $x$ на $n$

[Sinoid]

Ivan 09 в сообщении #1190360 писал(а):

Правильно понимаю то тогда нужно находить

А это вообще из признака Коши, причем с ошибкой, причем уже и не нужно.

[Ivan 09]

Dan B-Yallay
получается 1, и это наверное как-то влияет.
спасибо, я буду разбираться
Sinoid
так получилось что я пока не в теме, хотя закончил университет в 12 году. списывал.

[Math_er]

Ivan 09 Конкретно в Вашем случае не нужно прибегать к другим известным методам, а достаточно подставить в Ваш исходный ряд $x=-\frac{1}{2}$ и $x=-\frac{3}{2}$. Какой ряд тогда получится?

[Sinoid]

Math_er в сообщении #1190367 писал(а):

получается 1

Где?

[Ivan 09]

Math_er

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {4^n \cdot (\frac 1 2)^2^n }{n}$$

выражение упрощается до $\frac1 n$
такой ряд сходится и тогда ответ по идеи записан правильно
Только надо включить концы?

-- 06.02.2017, 21:07 --

Sinoid в сообщении #1190369 писал(а):

Math_er в сообщении #1190367 писал(а):

получается 1

Где?

в числителе
да, я неправильно сформулировал

[Dan B-Yallay]

Ivan 09 в сообщении #1190373 писал(а):

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {4^n \cdot (\frac 1 2)^2^n }{n}$$

выражение упрощается до $\frac1 n$
такой ряд сходится и тогда ответ по идеи записан правильно

[Ivan 09]

Dan B-Yallay
если вы в шоке, то я что то неправильно сказал(написал.)
только не пойму, что именно
может задать пару наводящих вопросов?

[Metford]

Ivan 09
Вы о гармоническом ряде слышали?

[Dan B-Yallay]

Ivan 09 в сообщении #1190378 писал(а):

может задать пару наводящих вопросов?

Уважаемый Metford уже задал наводящий вопрос.

[Math_er]

Ivan 09
Давайте еще раз пройдёмся по пути, который Вы совершили:
Итак, Вы показали, что в области $I=(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$ Ваш ряд сходится. Метод, который Вы использовали, гарантирует то, что $I$ - практически вся областью сходимость, за исключением, быть может, двух точек.
Чтобы узнать сходится ли ряд в этих точках, Вы подставили эти значения в исходный ряд, и получили $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$. Этот ряд расходится, и поэтому, $I$ - искомая область сходимости.