Problem1

[fibonacci]

Problem 1


Let $a_1 =3$ , $a_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot((a_n)^2 +1) $ , n=1,2,3,... then prove that $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+a_k} <\frac{1}{2}$.

[DeBill]

Имеем первые члены :
$3, 5, 13, 85,...$
Разность частичных сумм и $\frac{1}{2}$ из правой части:
$\frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{84}....$
И это, видимо, неспроста....
$\frac{1}{2} - S_{n} = \frac{1}{2} - S_{n-1} - \frac{1}{1+a_n} = $ (пусть)
$\frac{1}{a_n - 1} - \frac{1}{a_n +1} = \frac{2}{a_n^2 - 1} = \frac{1}{\frac{a_n^2 +1}{2} -1} =\frac{1}{a_{n+1} -1}$. Получилось!