Произведение матриц прямого и обратного преобразования

[Eugeniy_Sazonov]

Всем привет!
Все так же капаюсь с тензорами..
Подскажите, кто-нибудь, как используя нижеизложенные рассуждения получить единичную матрицу при перемножении матрицы прямого и обратного преобразования? :

Пусть есть две системы координат:
$\xi^i = \xi^i (\eta^1, \eta^2, \eta^3)$
$\eta^i = \eta^i (\xi^1, \xi^2, \xi^3)$
$a^{i \cdot}_{\cdot j}$ - элемент матрицы прямого преобразования $\frac{\partial \xi^i}{\partial \eta^j}$
$b^{j \cdot}_{\cdot k}$ - элемент матрицы обратного преобразования $\frac{\partial \eta^i}{\partial \xi^j}$


Рассмотрим произведение матриц $a^{i \cdot}_{\cdot j}b^{j \cdot}_{\cdot k}$ при $i=1, k =1$ и будем использовать следующие обозначения, например: $\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} =\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1} $, где $d_1 \xi^1$ - дифференциал $\xi^1$ полученный в результате только $d \eta^1$ (т.е. $d \eta^2 = 0$) и $d \eta^1 = d_1 \eta^1+d_2 \eta^1$.

Тогда
$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} = \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_1 \eta^1+d_2 \eta^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}+\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_1\eta^2 + d_2\eta^2}{d\xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1} = $
$= \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d\eta^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}+\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d\eta^2 }{d\xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1}=$
$= \frac{d_1 \xi^1+d_2 \xi^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1}= 1 - \frac{d \xi^2}{d \xi^1}(\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^2} + \frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^2})$.

В выражении получили $\frac{d \xi^2}{d \xi^1}$. Но, ведь $\xi^1$ и $\xi^2$ независимы.
1) Значит ли это, что $\frac{d \xi^2}{d \xi^1}=0$?

2) И мне не совсем понятно, как интерпретировать $\frac{d \xi^2}{d \xi^1}$. Ведь если эта штука не будет равна нулю, то получится, что $\xi^2$ является функцией $\xi^1$ (причем функцией только одной переменной)

[ewert]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1188808 писал(а):

Все так же капаюсь с тензорами..

Перестаньте капаться. А то ведь так накапаетесь, что всё из сосуда и выльется.

По существу. Тензоры тут вовсе не при чём, а просто $\left(\vec\xi\right)'_{\vec\xi}=E$ (тривиально по определению производной). Но тогда $E=\left(\vec\xi\right)'_{\vec\eta}\left(\vec\eta\right)'_{\vec\xi}$ (по тривиальной теореме о производной сложной функции).

[Eugeniy_Sazonov]

ewert, спасибо за ответ, но ведь вопрос то отвеченным не остался. Если начинать доказательство того, что Вы написали (а я именно это и хочу понять), то придем к тому же, что изначально обозначено в первом моем сообщении.
Спасибо

[Brukvalub]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1188808 писал(а):

будем использовать следующие обозначения, например: $\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} =\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1} $, где $d_1 \xi^1$ - дифференциал $\xi^1$ полученный в результате только $d \eta^1$ (т.е. $d \eta^2 = 0$) и $d \eta^1 = d_1 \eta^1+d_2 \eta^1$.

Вы, все-таки, так всерьез не "капайтесь"! Не нужно придумывать свои понятия и обозначения, все уже придумано до вас. Вчитайтесь в обозначения и понятия из учебников, тогда все и получится.

[ewert]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1189103 писал(а):

Если начинать доказательство того, что Вы написали (а я именно это и хочу понять)

Дело в том, что перед тензорами должно идти тупо дифференциальное исчисление ФНП (функций нескольких переменных). В т.ч. и со значениями в многомерном пространстве. Обычно эта тема идёт во втором семестре; некоторые энтузиасты втискивают её в первый; некоторые извращенцы (вроде меня ) затягивают до третьего -- в пандан к кратным интегралам. Но в любом случае -- до тензоров.

Так вот, в этом, ещё в нежном возрасте в голову должно вбиваться: все теоремы для числовых функций одной переменной один к одному переписываются и для многомерного случая. Только в матрично-векторном варианте. В частности, производная функции окажется матрицей (Якоби); в зависимости от ситуации -- возможно, строкой, или возможно столбцом, или даже просто числом (это уж возвращаясь к совсем младенчеству).

И, в частности, производная сложной функции окажется просто произведением производных. В данном случае -- матричных. И ровно по тем же причинам, что и в младенческом случае (т.е. доказывается ровно так же).

[Slav-27]

Eugeniy_Sazonov
Вы пишете странные вещи. Откуда вы их берёте? Читаете какой-то доисторический учебник анализа? Если вы школьник, то вам срочно нужно переучиваться (а если нет, то я не берусь судить).

Попробуйте прочитать следующий текст. Он скучный, а используемые там обозначения неуклюжие. Тем не менее, может быть, вы с его помощью разберётесь и тогда сможете писать проще, не боясь запутаться. Если там есть непонятные слова, то смотрите Зорич. Математический анализ, 1-й том.

О произведении матриц Якоби прямого и обратного преобразования

Чтобы показать, что это единичная матрица, используйте следующие 4 утверждения. Доказательства первых трёх можно найти у Зорича.

1. Пусть $U, V, W$ -- области в $\mathbb R^n$, функции $f:U\to V$, $g:V\to W$, причём $f$ дифференцируема в $x\in U$, а $g$ дифференцируема в $f(x)\in V$. Тогда их композиция $g\circ f$ дифференцируема в $x$, причём дифференциал этой композиции равен композиции дифференциалов, а именно: $(d(g\circ f))(x)=((dg)(f(x)))\circ ((df)(x))$. (Обычно скобок пишут меньше, но я пишу много, надеясь, что это убережёт от недопонимания.)
   
   Обратите внимание, откуда и куда действуют дифференциалы:
   $(df)(x):T_xU\to T_{f(x)}V$,
   $(dg)(f(x)):T_{f(x)}V \to T_{g(f(x))}W$,
   $(d(g\circ f))(x): T_xU\to T_{g(f(x))}W$.
   
   ($T_x U$ обозначает пространство касательных векторов к $U$ в точке $x$ (касательное пространство к точке $x$).
   $(df)(x)$ является линейным оператором, определённым в касательном пространстве к точке $x$.)
   
   
2. Пусть $U, V\subset \mathbb R^n$ -- области, функция $f:U\to V$ дифференцируема в $x\in U$. Выберем в $T_xU$ и $T_{f(x)}V$ "естественные" базисы, связанные с координатами, а именно: $(dx^1\vert _x, dx^2\vert _x, ..., dx^n \vert_x)$ в $T_xU$ и $(dx^1\vert _{f(x)}, dx^2\vert _{f(x)}, ..., dx^n \vert_{f(x)})$ в $T_{f(x)}U$.
   
   При этом выборе матрица оператора $(df)(x):T_xU\to T_{f(x)}V$ есть матрица Якоби $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x):=\left(\dfrac{\partial f^i}{\partial x^j}(x^1, ..., x^n)\right)$.
   
   
3. Дифференциал тождественного отображения в некоторой точке -- тождественный оператор касательного пространства.
   
   
4. Матрица композиции линейных операторов есть произведение матриц этих операторов, матрица тождественного оператора -- единичная.

Теперь если у вас 2 взаимно обратные функции $f$ и $g$, то запишите $f\circ g=\operatorname{id}$ (знаком $\operatorname{id}$ обозначаю тождественное отображение), возьмите дифференциал от обеих частей этого равенства и используйте 4 утверждения.

О первом посте в этой теме

1. Не путайте координаты и функции перехода. Координаты $\xi$ устанавливают биекцию между некоторым (открытым) подмножеством $C$ поверхности $M$ и некоторым (открытым) множеством $U\subset\mathbb R^n$. Они задаются функциею $\xi: C\to U$.
   
   Пусть есть ещё координаты $\eta: C\to V$. Тогда можно рассмотреть функцию, которая берёт $n$ координат в системе $\xi$ и выдаёт по ней $n$ координат в системе $\eta$; я обозначу эту функцию $[\xi\to\eta]$.
   Эта функция $[\xi\to\eta]=\eta\circ\xi^{-1}$, или, подробнее, $[\xi\to\eta]^i(x^1, ..., x^n)=\eta^i(\xi^{-1}(x^1, ..., x^n))$.
   
   Именно эту функцию перехода $[\xi\to\eta]$ вы обозначаете через $\eta^i = \eta^i (\xi^1, \xi^2, \xi^3)$. Так и принято писать (by abuse of notation), но пока лучше различать координаты и функции перехода.
   
   
2. Теперь едем дальше: вы делите одни дифференциалы на другие. Дифференциалы -- линейные операторы, причём определённые в разных пространствах (в касательных пространствах к разным точкам). Делить их друг на друга вообще-то нельзя.
   
   Однако, в одномерном случае $df(x)=f'(x)dx$ где $f'(x)$ --число, зависящее от $x$. Поэтому (символически) пишут $f'(x)=df/dx$. Это удобно.
   
   Но если функция $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$, то уже не пишут, например, $\dfrac{df^1}{dx^2}$ или $\dfrac{dx^1}{dx^2}$. Что бы это могло означать и зачем нужно такое обозначение?
   
   Можно писать $\dfrac{\partial f^1}{\partial x^2}$ -- это общепринятое обозначение частной производной. Чтобы это писать, нужно указать прежде, каким образом функция $f^1$ зависит от $x^2$, например: $f^1(x^1,x^2..., x^n)=x^2$ или $f^1(a, \gamma, x^2)=a+x^2+\gamma$. В первом случае запись $\dfrac{\partial f^1}{\partial x^2}$ обозначает производную функции $f^1$ по второму аргументу, во втором случае -- по третьему. Вообще $x$ в записи $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ есть ничто более как ссылка на номер аргумента, по которому производится дифференцирование.
   
   
   (Можно вовсе отказаться от букв и писать, например, $\dfrac{\partial f}{\partial 1}$ или, если хотите, $\partial_1 f$ для производной по 1-му аргументу, $\dfrac{\partial f}{\partial 2}$ или $\partial_2 f$ -- по 2-му и т. д. Здесь встретится следующее неудобство: нужно будет указывать явно порядок аргументов при задании функции, то есть появится различие между $f(x,y)=x+2y$ и $f(y,x)=x+2y$. Потому-то аргументы при частном дифференцировании означают не номерами, а буквами.)
   

Теперь собственно о ваших выкладках.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1188808 писал(а):

$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}\frac{\partial \eta^1}{\partial \xi^1} + \frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^2}\frac{\partial \eta^2}{\partial \xi^1} = \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_1 \eta^1+d_2 \eta^1}{d \xi^1}- \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1}\frac{d_2 \eta^1}{d \xi^1}+\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_1\eta^2 + d_2\eta^2}{d\xi^1}-\frac{d_2 \xi^1}{d \eta^2}\frac{d_2\eta^2}{d \xi^1}$

Вы можете, если хотите, обозначать $\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1}$ через $ \frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1} $ (где $\xi^1$ обозначает функцию перехода, в моих обозначениях это $[\eta\to\xi]^1(\eta^1, \eta^2, \eta^3)$) -- и даже можете обозначать $\frac{\partial f}{\partial \eta^1}d\eta^1$ через $d_1f(\eta^1, ..., \eta^n)$. (Хоть я и не рекомендую использовать такие обозначения).

Но что такое $\frac{d_2\eta^1}{d\xi^1}$, возникающее во втором члене вашего равенства?

Если $\eta^1$ обозначает компоненту соответствующей функции перехода $\eta^1(\xi^1, \xi^2, ...)$, то по-вашему должно быть, вроде, $d_2\eta=\frac{\partial \eta^1}{\partial\xi^2}d\xi^2$, но делить это на $d\xi^1$ бессмысленно, так как $\xi^2$ здесь есть обозначение аргумента, а вовсе не функция одного аргумента $\xi^1$. Соответственно, бессмысленны и дальнейшие преобразования сего выражения.

Аналогично, на вопрос

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1188808 писал(а):

Значит ли это, что $\frac{d \xi^2}{d \xi^1}=0$

правильный ответ "не знаю" -- до тех пор, пока вы не укажете, какие буквы обозначают аргументы, а какие -- функции, и какие это функции.

[Slav-27]

Я там ерунду написал:

Slav-27 в сообщении #1189137 писал(а):

2. Пусть $U, V\subset \mathbb R^n$ -- области, функция $f:U\to V$ дифференцируема в $x\in U$. Выберем в $T_xU$ и $T_{f(x)}V$ "естественные" базисы, связанные с координатами, а именно: $(dx^1\vert _x, dx^2\vert _x, ..., dx^n \vert_x)$ в $T_xU$ и $(dx^1\vert _{f(x)}, dx^2\vert _{f(x)}, ..., dx^n \vert_{f(x)})$ в $T_{f(x)}U$.

Надо исправить на:

Выберем в $T_xU$ и $T_{f(x)}V$ "естественные" базисы, состоящие из векторов, касательных к координатным линиям. При таком выборе...

[Eugeniy_Sazonov]

Спасибо, ewert. Всё, что вы написали, мне было понятно, ведь вы говорите о символической записи производной ФНП (http://mathhelpplanet.com/static.php?p= ... -argumentu).

Slav-27, и Вам спасибо=). Я не школьник, и могу рассказать, что именно читаю: старенькая книжка 70-го года "Механика сплошной среды. ТОМ 1", Л.И. Седов. Там, в главе по кинематике деформируемой среды есть параграф с элементами тензорного исчисления, где упоминается о произведении матриц прямого и обратного преобразований. Далее, я вспомнить и рассудить, опираясь на обозначение, взятое с wikipedia.org, а именно:

Цитата:

... Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: $\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}\equiv \frac {d_{x}f(x,y)}{{dx}}$, где $d_{x}f$ — частный дифференциал функции $f$ по переменной $x$. Часто непонимание факта цельности символа ... [Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»].

Я так и поступил, только в итоге принял допущение, что $\xi^i = \xi^i (\eta^1, \eta^2)$, $\eta^i = \eta^i (\xi^1, \xi^2)$ и ввел немного другие обозначения (учитывая теперь, что $\vec{\xi}\left(\vec{\eta}\right), \vec{\eta}\left(\vec{\xi}\right)$ - вектор функции двух переменных):
$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} =\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1} = \frac{d_{\eta^1} \xi^1}{d \eta^1} $.

Slav-27 в сообщении #1189137 писал(а):

Но что такое $\frac{d_2\eta^1}{d\xi^1}$, возникающее во втором члене вашего равенства?
...
Если $\eta^1$ обозначает компоненту соответствующей функции перехода $\eta^1(\xi^1, \xi^2, ...)$, то по-вашему должно быть, вроде, $d_2\eta=\frac{\partial \eta^1}{\partial\xi^2}d\xi^2$, но делить это на $d\xi^1$ бессмысленно, так как $\xi^2$ здесь есть обозначение аргумента, а вовсе не функция одного аргумента $\xi^1$. Соответственно, бессмысленны и дальнейшие преобразования сего выражения.

Вы всё верно написали, но почему же бессмысленно деление на $d\xi^1$, разве факт того, что $\vec{\xi}\left(\vec{\eta}\right)$ не доказывает, что $\frac{d\xi^2}{d\xi^1} = 0$, ведь $\xi^2$ и $\xi^1$ независимы?

[Slav-27]

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1189229 писал(а):

почему же бессмысленно деление на $d\xi^1$, разве факт того, что $\vec{\xi}\left(\vec{\eta}\right)$ не доказывает, что $\frac{d\xi^2}{d\xi^1} = 0$, ведь $\xi^2$ и $\xi^1$ независимы?

Нет. В левой части вашего равенства записано "частное" двух линейных отображений, но что это такое, неизвестно.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1189229 писал(а):

что именно читаю: старенькая книжка 70-го года "Механика сплошной среды. ТОМ 1", Л.И. Седов.

Видимо, автор предполагает, что вы усвоили курс матана. Тут 2 пути: либо прочитать и понять учебник по матану, либо запомнить какие-то алгоритмы "делай так" и своего не придумывать.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1189229 писал(а):

Далее, я вспомнить и рассудить, опираясь на обозначение, взятое с wikipedia.org

Лучше учебник! И про функции многих переменных -- лучше Зорич, чем Фихтенгольц.

Eugeniy_Sazonov в сообщении #1189229 писал(а):

Я так и поступил, только в итоге принял допущение, что $\xi^i = \xi^i (\eta^1, \eta^2)$, $\eta^i = \eta^i (\xi^1, \xi^2)$ и ввел немного другие обозначения (учитывая теперь, что $\vec{\xi}\left(\vec{\eta}\right), \vec{\eta}\left(\vec{\xi}\right)$ - вектор функции двух переменных):
$\frac{\partial \xi^1}{\partial \eta^1} =\frac{d_1 \xi^1}{d \eta^1} = \frac{d_{\eta^1} \xi^1}{d \eta^1} $.

Для начала обозначьте функции и аргументы разными буквами. А также координаты и функции перехода -- разными буквами.

Например, функцию перехода, которая по $\xi$-координатам выдаёт $\eta$-координаты той же точки, обозначьте $g^i(x^1, x^2)$, а обратную -- $f^i(y^1, y^2)$. (Я предполагаю, что координат всего 2, т. е. что поверхность -- двумерная.)

Тогда можно будет писать равенства вроде следующих:
$g^1(\xi^1(p), \xi^2(p))=\eta^1(p)$
$f^2(\eta^1(p), \eta^2(p))=\xi^2(p)$
$f^1(g^1(y^1, y^2), g^2(y^1, y^2))=y^1$
($p$ означает точку на картируемой поверхности, $y^1$ и $y^2$ -- аргументы функции -- вещ. числа.)

$\left(\dfrac{\partial f^1}{\partial y^1}(g^1(m,q), g^2(m,q))\right)\cdot\left(\dfrac{\partial g^1}{\partial x^1}(m, q)\right)$
$+\left(\dfrac{\partial f^1}{\partial y^2}(g^1(m,q), g^2(m,q))\right)\cdot\left(\dfrac{\partial g^2}{\partial x^1}(m, q)\right)=1$ для любых двух вещественных чисел $m$ и $q$, для которых $g(m,q)$ определена.

[crazy_taxi_driver]

Slav-27 в сообщении #1189137 писал(а):

$(d(g\circ f))(x)=((dg)(f(x)))\circ ((df)(x))$

Я понял что я не в курсе обозначений. В каком учебнике производную функции $f$ обозначают $df$? Разве так принято вообще? Как в нём обозначается 1-форма, полученная дифференцированием скалярной ФНП $f$?

[Slav-27]

crazy_taxi_driver
У меня там дифференциалы, а функции у нас были из области в $\mathbb R^n$ в $\mathbb R^n$ же.

Учебник почитайте Зорича "Математический анализ", в конце 1-го тома или в начале 2-го. Там вообще написано, что дифференциал отображения в данной точке и производная в данной точке -- это одно и то же. (Но для вещественных функций одной вещественной переменной всё-таки принято различие.)

Внешний дифференциал скалярного поля обозначают так же $df$. Естественно отождествить касательное пространство к $\mathbb R$ в некоей точке с самим $\mathbb R$, тогда внешний дифференциал и обычный -- это просто одно и то же.