Единственное, что могу сказать: понятия, сформулированные в вопросе, не являются общепринятыми. Ответы лучше всего поискать в собственном конспекте.
Рискну сделать пару предположений. Нумерация свободного объединения --- это, скорее всего, вот что. Если

--- нумерация

,

---нумерация

и
то нумерованное множество

называется свободным объединением нумерованных множеств

и

. Декартовым же произведением этих множеств называется нумерованное множество

, где
и
есть вычислимая биекция

на

.
Ну а что такое "рекурсивно определённая нумерация" --- одному лишь Богу да Вашему лектору известно. По крайней мере, в книге Ю. Л. Ершова "Теория нумераций" Вы этого понятия не найдёте
