2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 18:10 
Здравствуйте! Прошу помочь диффеоморфно отобразить открытый единичный шар $B(0,1) \subset \mathbb R ^n$ на все $\mathbb R ^n$.

Пробовал брать такие отображения ($\|\cdot\|$ у меня евклидова норма):
$B(0,1) \ni x \mapsto x \exp(\frac{1}{1-\|x\|^2}) \in \mathbb R ^n,$
$B(0,1) \ni x \mapsto \frac{x}{1-\|x\|^2} \in \mathbb R ^n.$
Инъективность и гладкость получить легко. Но непонятно, как проверить гладкость обратного отображения. Пробовал воспользоваться теоремой об обратной функции, но якобиан вычисляется не очень просто. Может, есть какой-нибудь простой путь? Предполагаю, что любые две линейно связные области в $\mathbb R ^n$ диффеоморфны. Правильно ли это?

 
 
 
 Re: Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 18:18 
Аватара пользователя
Grabovskiy в сообщении #1188035 писал(а):
Предполагаю, что любые две линейно связные области в $\mathbb R ^n$ диффеоморфны.

Они не всегда даже гомеоморфны! Для того, чтобы различать не гомеоморфные многообразия, придуманы, например, группы гомологий и когомологий.

 
 
 
 Re: Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 18:19 
Grabovskiy в сообщении #1188035 писал(а):
Пробовал воспользоваться теоремой об обратной функции,

И хорошо. А в чем проблемы? В нуле - легко, поскоку отображение "почти " линейно. Вне нуля - все гладенько, а в полярной системе к-т - так вааще красиво...

 
 
 
 Re: Диффеоморфно отобразить шар на R^n
Сообщение28.01.2017, 19:04 
Получилось, спасибо! Отобразил шар на куб, а потом куб на $\mathbb R^n$.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group