Ложные аналогии в математике

[Linkey]

Меня всегда интересовал метод аналогий. Аналогии в реальном мире бывают очень разные; я уже писал свой мнение, что аналогии бывают “сильные” (близкие) и “слабые” (далёкие). Аналогии хорошо годятся для генерации гипотез. Что касается аналогий в математике, то мне хотелось бы собрать примеры “слабых” аналогий и аналогий, заставляющих делать ложные выводы.
В книге “Интуиция и математика” я прочитал, что в четырехмерном пространстве возможен один аналог круга-шара, один аналог квадрата-куба и бесконечное количество аналогов треугольника-тетраэдра (многогранников, у которых любые 2 вершины соединены ребром). Мне в это не очень верится, тем более что в Википедии написано, что в четырехмерном пространстве возможны всего 6 правильных многогранников.
И я бы не хотел, чтобы здесь слишком увлекались спором о свойствах четырехмерного пространства (у меня иногда мысль, что можно представить в уме такое пространство, вызывает дискомфорт).

[kp9r4d]

Многогранник, у которого любые две вершины соединены ребром называется циклическим, с правильными (т.е. имеющими транзитивную группу симметрий на флагах) они несвязаны. В четырёхмерном пространстве тоже ровно один аналог правильного тетраэдра и бесконечно много циклических.

Моя любимая аналогия - это арифметическая топология, связь между целыми числовыми полями и конечными накрытиями 3-сферы, между простыми числами и зацеплениями, между символом зацепления и символом Лагранжа и т.д. Любимая потому, что в отличии от всяких абстрактных технических гипотез, которые просто дают "хороший инструмент" для вычисления каких-то инвариантов (вроде гипотезы Бёрча Свиннертон-Дайера) эта штука довольно ценна сама по себе и связывает непосредственно алгебру и геометрию.

Ещё гипотезы Ленглендса (связь между автоморфными формами и эллиптическими кривыми).

Деление аналогий на сильные и слабые - это наивняк какой-то, на мой вкус.

[arseniiv]

Linkey в сообщении #1187720 писал(а):

у меня иногда мысль, что можно представить в уме такое пространство, вызывает дискомфорт

К чему это здесь?

Linkey в сообщении #1187720 писал(а):

Что касается аналогий в математике, то мне хотелось бы собрать примеры “слабых” аналогий и аналогий, заставляющих делать ложные выводы.

В математике есть аналогии, приведшие к соответствующему обобщённому понятию, не приведшие к нему и такие, про которые пока ничего не ясно. Третьи обычно не публикуются, а сидят в головах и неформальных обсуждениях.

[Anton_Peplov]

Рассмотрим некоторое понятие (назовем его родительским) и какое-нибудь его обобщение. Например, родительское понятие - числовая прямая, обобщение - метрическое пространство.
При обобщении всегда встает вопрос, какие из свойств родительского понятия сохраняются. И часто оказывается, что не сохраняются многие привычные свойства, которыми люди без должной дисциплины мышления пользуются как "очевидными". Например, есть метрические пространства, где один и тот же шар имеет бесконечное множество разных радиусов и / или бесконечное множество разных центров. Где сфера с центром $x$ и радиусом $r$ не является границей ни открытого, ни замкнутого шара с тем же центром и радиусом. И где творится еще много других странных вещей. Так вот необоснованный перенос свойств родительского понятия на обобщение можно считать "ложной аналогией".

[Ether]

Аналогия - понятие не формализованное, поэтому в математике ей особо нет места. Если строить теории на аналогиях, то можно очень быстро заблудиться. Если само понятие аналогия в математике не формализовано, то преждевременно говорить о "сильных", "слабых" и "ложных" аналогиях в математике.

Но в творческом процессе математики пользуются аналогиями, да, при генерации гипотез например. Причем за аналогиями часто стоит нечто более фундаментальное. Аналогии-один из аспектов интуиции. Скорее они больше относятся к теории познания, психологии, творческому процессу, чем к математике, по крайней мере пока.

[Mihaylo]

Если рассматривать аналогии не с точки зрения математики, а с точки зрения теории познания и других смежных наук, то будет такое определение: мышление по аналогии - это реально очень эффективный метод в условиях очень сильно разреженных исходных данных. То есть, если Вы ничего не знаете, действуйте по какой-нибудь (любой) аналогии! Про недостатки метода говорить не буду...

[Dragon27]

Ether в сообщении #1188163 писал(а):

Причем за аналогиями часто стоит нечто более фундаментальное. Аналогии-один из аспектов интуиции. Скорее они больше относятся к теории познания, психологии, творческому процессу, чем к математике, по крайней мере пока.

Ну так без этого неформализованного творческого процесса в математике никуда, и именно на аналогиях прогресс в построении теорий (перед тем как их заформализовывают - тоже руководствуясь для помощи аналогиями, чтобы выстроить удобную формальную систему) и основан. Не совсем понимаю, почему вы считаете, что в математике аналогиям нет места.

[madschumacher]

(об определениях)

Mihaylo в сообщении #1188186 писал(а):

определение: мышление по аналогии - это реально очень эффективный метод в условиях очень сильно разреженных исходных данных

У Вас повернулись пальцы назвать это определением? По идее, если у Вас имеется определение (скажем, из словаря), но само слово, которое определяется не написано, но Вы его знаете, то по данному Вам тексту Вы должны быть в состоянии его восстановить. А теперь давайте проведем эксперимент: по аналогии с Вашим определением я напишу своё, а Вы угадаете, что это за слово:

??? -- это реально очень эффективный метод в условиях, когда очень сильно лень идти пешком.

Спойлер: это слово должно быть Вам известно.

[Ether]

Dragon27 в сообщении #1188193 писал(а):

Ну так без этого неформализованного творческого процесса в математике никуда, и именно на аналогиях прогресс в построении теорий (перед тем как их заформализовывают - тоже руководствуясь для помощи аналогиями, чтобы выстроить удобную формальную систему) и основан. Не совсем понимаю, почему вы считаете, что в математике аналогиям нет места.

Попытки решения ВТФ простыми средствами- тоже творческий процесс. Пока теория не доведена до определенного уровня, она ничем не отличается от попытки решения ВТФ. Математика- это то, что остается в сухом остатке. В ней всё разложено по полочкам, всё определено, определены понятия, приведены доказательства и определены проблемы, определены рамки в которых эти доказательства справедливы.

Если творческий процесс включить в математику, то придется весь пургаторий вызволить и расквартировать в соответствующих математических разделах. Дискуссионные темы в математическом разделе - это тоже не сама математика. Это лишь спор о том, какой математика должна или не должна быть. Ценность творческого процесса и аналогий для развития математики безусловна, но их нельзя включить в саму математику, пока мы не определим их. Иначе в математику можно будет включить всё что угодно.

[Mihaylo]

(madschumacher)

[Anton_Peplov]

Терминологический спор. Есть разные значения слова "математика". В одном из значений это то, о чем говорит Ether - определения, аксиомы, теоремы, доказательства, контрпримеры, нерешенные задачи. Т.е. то, что в среде математиков признается за научный результат или хотя бы за ясно поставленную задачу. В другом, более широком значении, в "математику" включаются и сами математики, и математические журналы, и конференции, и - да, какие-то когнитивные навыки. Это, так сказать, "социологическое" понимание термина "математика". Нет смысла спорить, какое значение слова лучше, они оба нужны, но нужны для разного. Важно только употреблять термины так же, как и собеседник.

Аналогия - это очень простая штука. Дано, что для объекта $x$ выполняются предикаты $P(x)$ и $Q(x)$. Мы знаем также, что для объекта $y$ выполняется предикат $P(y)$. Исходя из этого, мы предполагаем, что выполняется также $Q(y)$, и пытаемся это доказать. Это называется "рассуждение по аналогии". Если $Q(y)$ не выполняется, можно сказать, что аналогия ложная.

Чтобы привести примеры того, как рассуждения по аналогии приводили к математическим открытиям (и наоборот, к упорным попыткам доказать ложные утверждения), надо хорошо знать историю математики. Без этого разговор будет толчением воды в ступе, чем он, собственно, сейчас и является.

[Dragon27]

Ether в сообщении #1188232 писал(а):

Попытки решения ВТФ простыми средствами- тоже творческий процесс. Пока теория не доведена до определенного уровня, она ничем не отличается от попытки решения ВТФ.

Ну ясно, что творческий процесс творческому процессу рознь. Математик, "стоящий на плечах гигантов", изучивший более продвинутую математику, и творчествовать будет лучше и аналогии будет проводить глубже и абстракции выдумывать эффективнее и будет иметь больше успеха с ВТФ.

Ether в сообщении #1188232 писал(а):

Математика- это то, что остается в сухом остатке. В ней всё разложено по полочкам, всё определено, определены понятия, приведены доказательства и определены проблемы, определены рамки в которых эти доказательства справедливы.

Так до этого ещё надо добраться.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1188247 писал(а):

Есть разные значения слова "математика".

Точно так же можно вспомнить, что есть два разных подхода к пониманию аналогии: "математическое" (см. определение морфизма) и "бытовое" -- от более привычного и понятного к незнакомому.
Примеры вполне себе формализуемых аналогий: использование в доказательстве приёмов "второй случай доказывается аналогично", "и т.д.".
Один из наиболее известных в истории примеров ложных аналогий второго типа: поиск аналога комплексных чисел в трёхмерном пространстве.
Интересно было бы найти хороший пример аналогии между аналогиями. Не обязательно в математике.

[Linkey]

kp9r4d в сообщении #1187763 писал(а):

Многогранник, у которого любые две вершины соединены ребром называется циклическим, с правильными (т.е. имеющими транзитивную группу симметрий на флагах) они несвязаны. В четырёхмерном пространстве тоже ровно один аналог правильного тетраэдра и бесконечно много циклических.

Чем отличается правильный "четырехмерный тетраэдр" от неправильного? У правильного (и только у правильного) все рёбра равны?

[Ether]

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Примеры вполне себе формализуемых аналогий: использование в доказательстве приёмов "второй случай доказывается аналогично", "и т.д.".

Это сродни использованию в доказательствах приема "очевидно", при использовании которого всегда могут попросить раскрыть эту очевидность, впрочем как и аналогичность, поскольку аналогично $\ne$ эквивалентно, а очевидно $\ne$ очевидно. Использование таких конструкций включает субъективный фактор, эти фразы лишь подразумевают под собой существование доказательства, которое сомневающиеся могут построить сами, попросить продемонстрировать его или принять на веру. То, что эта фраза присутствует в докзательстве ещё не делает его истинным, пока не проверят её истинность.

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Интересно было бы найти хороший пример аналогии между аналогиями. Не обязательно в математике.

grizzly в сообщении #1188259 писал(а):

Точно так же можно вспомнить, что есть два разных подхода к пониманию аналогии: "математическое" (см. определение морфизма) и "бытовое" -- от более привычного и понятного к незнакомому.

Морфизм- аналогия в математике. Аналогия- морфизм в бытовом понимании.
Проведение параллелей между математическим понятием морфизм и бытовым понятием аналогия - есть аналогия между двумя аналогиями.

-- 29.01.2017, 16:13 --

Dragon27 в сообщении #1188258 писал(а):

Ну ясно, что творческий процесс творческому процессу рознь. Математик, "стоящий на плечах гигантов", изучивший более продвинутую математику, и творчествовать будет лучше и аналогии будет проводить глубже и абстракции выдумывать эффективнее и будет иметь больше успеха с ВТФ.

Бывает и продвинутые люди заблуждаются и ошибаются.

Dragon27 в сообщении #1188258 писал(а):

Так до этого ещё надо добраться.

Вот математика и состоит из того, до чего добрались. Всё остальное - лишь путь, который пока не пройден неизвестно куда приведёт.