несимметричные ранговые корреляции

[Andrey_Kireew]

При вычислении ранговых корреляций (по Кенделлу) обнаружил, что корреляционная матрица получается несимметричной. Есть предположение, раньше казалось что это какие то проявления нелинейности зависимости. Теперь мне кажется, что это из-за наличия связанных рангов (корреляции я вычисляю с поправкой на связки), а истинная корреляция не должна зависеть от перестановки переменных. Буду благодарен если кто то объяснит мне причину асимметрии.

Второй вопрос, который меня волнует - как интерпретировать несимметричные корреляции. Первое что приходит в голову - это расширить доверительный интервал таким образом, чтобы в него попадало оба значения.

Третий вопрос - вводятся ли какие то поправки в формулы для расчёта доверительных интервалов ранговых корреляций при наличии связок, или эти формулы остаются прежними?
В литературе говорится, что при наличии связок оценки загрубляются. Чтобы их улучшить - вводятся поправки, а про доверительный интервал ничего не говорится. Мне почему то кажется, что приведённые формулы справедливы только в отсутствии связок.

Прошу специалистов дать коментарии по моим вопросам, либо дать ссылки на авторитетные источники, где об этом можно было бы почитать.

[Markiyan Hirnyk]

Без конкретного примера и применяемых формул - пустой разговор.

[Евгений Машеров]

Боюсь, ошибка в программе. Скорее всего действительно в обработке связок.

[Markiyan Hirnyk]

Простой пример, сделанный с Математикой:

v1 = {3, -4, 1, 4, 22, 17, -2, 2, 13, -11};
v2 = {-20, -24, 0, 4, 24, 36, -12, -12, 56, -14};
KendallTau[v1, v2]
13/(3 Sqrt[55])
KendallTau[v2, v1]
13/(3 Sqrt[55])

[Andrey_Kireew]

У Вас 0.5843, у меня получается 0.5843 и 0.6068.

Но я уже кажется разобрался в чём дело, Евгений оказался прав, ошибка в программе:
когда я считаю инверсии, то упорядочиваю одну переменную по другой, а потом последовательно, от первого до предпоследнего элемента ищу количества элементов меньше текущего, и всё складываю. Вроде как бы нормально.
Но ошибка вот в чём - такой подход неявно предполагает, что в первой переменной, по которой идёт ранжирование, связок нет. Если же есть связки, то некоторые элементы можно переставить произвольно, не нарушая порядка первой переменной и за счёт этого уменьшить число инверсий.
Как раз это и видно из приведённого Markiyan Hirnyk примера: в первой переменной связок нет - корреляции совпадают точно, во второй есть связка и у меня получается завышенное значение.

В общем я понял как исправить, это не сложно.

Кстати, разобрался и с доверительным интервалом при наличии связок. Как я и предполагал, он считается совсем по другому,
кому интересно - можете почитать вот здесь:

https://en.wikipedia.org/wiki/Kendall_rank_correlation_coefficient

Всем большое спасибо! проблема решена