Утв. о предельных циклах и асимптотич. устойчивых особ. точк

[Optimizer of control]

Помогите, пожалуйста.
Утверждение:
Пусть H(x) - первый интеграл системы $x' = f(x), f \in C^1$, на плоскости (т.е. H - функция, постоянная на траекториях системы). Если H не константа на любом открытом множестве, то система не имеет предельных циклов и асимптотически устойчивых особых точек.

[Sherpa]

может от обратного попробовать???

[V.V.]

Дык, опять-таки используйте первый интеграл как функцию Ляпунова.

[Optimizer of control]

Цитата:

опять-таки используйте первый интеграл как функцию Ляпунова

Но ведь первый интеграл не обязан быть положительно определенной функцией. С другой стороны, даже если это было бы так. Тогда можно предположить существование устойчивого решения на котором первый интеграл равен нулю. При этом если производная
H(x) на любой точке из некоторой окрестности этого решения отрицательна, то существует асимптотически устойчивая особая точка.

Наверное я где-то ошибаюсь поскольку иначе доказываемое утверждение получается неверным.

[V.V.]

При этом производная $H(x)$ равна нулю, ибо это первый интеграл.

[Optimizer of control]

А в качестве функции Ляпунова подойдет $H(x)^2$?

[V.V.]

Конечно подойдет.

[Optimizer of control]

Несуществование предельного цикла следует из несуществования асимптотически устойчивой особой точки ? Или несуществование предельного цикла следует из несуществования решения асимптотически устойчивого по Ляпунову?

[V.V.]

Из несуществования решения, асимптотически устойчивого, и несуществования решения, асимптотически неустойчивого.

[Optimizer of control]

Спасибо. Теперь вопрос решен.