качественная теория ОДУ (когда существует предельный цикл?)

[Optimizer of control]

Помогите решить:
Пусть гладкая функция
f :$\mathbb R \to \mathbb R$ нечетна: $f(-z) = -f(z)$, и монотонно возрастает:
$f'(z) > 0.$ При каких условиях в уравнении
$x'' + ax' + bx = f(x'), a > 0, b > 0,
существует предельный цикл?

[V.V.]

Используйте критерий Бендиксона, который еще называется мешком Бендиксона.

Надо, чтобы существовала кривая, в которую входят все кривые. И чтобы внутри этой кривой был неустойчивый фокус или неустойчивый узел.

[Optimizer of control]

В критерии Бендиксона говорится о несуществовании предельного цикла, когда дивергенция постоянна и не равна нулю. Тогда как его использовать? Еще не пойму как неустойчивый узел будет наматываться на предельный цикл?

[V.V.]

Есть еще "мешок Бендиксона".

Пусть существует замкнутная кривая L, в которую все траектории входят, и внутри существует неустойчивый фокус или неустойчивый узел. Тогда внутри области, ограниченной кривой L существует устойчивый предельный цикл.

[Optimizer of control]

А кривая L вообще не обязана быть какой-либо траекторией системы?

[V.V.]

Не обязана.

[Optimizer of control]

Как я понял для начала нужно найти стационарную точку и линеаризовать систему в этой точке. А дальше полученную систему исследовать на наличие неустойчивого фокуса или неустойчивого узла? И если они будут найдены, то каким-то образом описать вокруг них кривую L?

[V.V.]

Точка уже есть: $(0,0)$. Линеаризовать надо. И найти кривую $L$ надо.