"Жидкая" планета

[dovlato]

Планета без атмосферы, вращается вокруг оси с угловой скоростью $\Omega$.
Её твёрдая поверхность соответствует той, которая была бы у жидкого вращающегося тела - как обычно и бывает у достаточно больших планет.
Шайба малых размеров в данный момент находится на поверхности планеты в некоторой точке $\mathbf r_0$ в приполярной области.
В инерциальной СО, связанной с осью, шайба имеет малую горизонтальную (касательную к поверхности) скорость $\mathbf v_0$.
Трения нет. Описать дальнейшее движение шайбы.

[realeugene]

Забавно, что из простейших рассуждений следует, что в системе отсчёта Земли тело должно двигаться по окружности, а в ИСО - по эллипсу, в фокусе которого расположен географический полюс.

[dovlato]

Задача возникла из наших обсуждений.
Тело должно было бы "двигаться по окружности" по планете, имеющей форму идеального шара.

[realeugene]

Нет, я наврал про эллипс. Потенциал центробежной силы пропорционален квадрату радиуса, а не обратно пропорционален радиусу.

В системе отсчёте Земли это будет движение по окружности с постоянной скоростью с периодом 12 часов, центр которой медленно прецессирует вокруг полюса. Поправка к постоянной корриолисовой силе порядка $(r/R)^2$

[dovlato]

Подсказка: потенциальная энергия растянутой пружины - тоже квадратичная функция деформации.

[realeugene]

Вот смотрите. В системе отсчёта Земли центробежная сила полностью скомпенсирована формой поверхности Земли, чтобы находившееся в покое на льду тело оставалось в покое и далее. Следовательно, во вращающейся системе отсчёта остаётся ненулевой только сила Корриолиса. Которая перпендикулярна скорости, так что, кинетическая энергия тела сохраняется, вместе с его скоростью. Так что, если пренебречь изменением широты, то ускорение Корриолиса постоянно и направлено перпендикулярно вектору скорости, являясь центростремительным ускорением для движения по окружности с периодом 12 часов. А в ИСО, как вы правильно заметили, это будет эллипс с центром на полюсе с периодом 24 часа - два независимых гармонических колебания по двум произвольным ортогональным осям.

[dovlato]

В отсутствие сил трения я вообще не вижу особого смысла в рассмотрении сил Кориолиса: тогда уже безразлично, вращается планета или нет.
Но зато важно другое: её вращение создаёт приповерхностное гравитационное поле, притягивающее любое скользящее тело к полюсу.
Именно это поле и делает возможными колебания тел (в ИСО они квазигармонические вблизи оси, траектория эллиптическая).
С тем же периодом, с которым вращается планета.
А во вращающейся СО тоже интересно.. В приполярной области скользящее тело в ней описывает квазизамкнутую траекторию.
Если не ошибаюсь (хорошо бы это проверить), то с периодом, вдвое меньшим(!).
Если тело первоначально в ИСО было неподвижно, то траектория имеет вид окружности, проходящей через полюс, а скорость прохождения тела по ней остаётся неизменной.

[realeugene]

dovlato в сообщении #1185516 писал(а):

В отсутствие сил трения я вообще не вижу особого смысла в рассмотрении сил Кориолиса:

Как это? В ИСО её, конечно, нет, но в системе отсчёта Земли она - единственная оставшаяся сила, к тому же, перпендикулярная скорости и сохраняющая модуль скорости. Она ещё умножается на синус широты, если широта высокая, то период движения по окружности близок к 12 часам, как легко увидеть. Ну и разложив широту в окрестности центра движения в ряд Тейлора можно найти поправки к периоду в зависимости от широты и радиуса этой окружности и скорость дрейфа. Или даже точно проинтегрировать. Понятно что для малой $v$ скорость дрейфа центра окружности в системе Земли будет нулевой, но период равен $\frac{12 \text{часов}}{\sin \theta_0}$. Перейдя с этой окружностью в ИСО можно получить и искомую квазизамкнутую траекторию в первом приближении по $v$ и $\theta_0$.

[dovlato]

Я же не говорю, что сила Кориолиса "не существует". Но в отсутствие трения естественно рассматривать движение в ИСО. Проще.

[realeugene]

dovlato в сообщении #1185601 писал(а):

Я же не говорю, что сила Кориолиса "не существует". Но в отсутствие трения естественно рассматривать движение в ИСО. Проще.

Не совсем. Если скорость мала, а расстояние до полюса достаточно велико, то в системе Земли это будет движение по малой окружность с периодом, отличным от 12 часов, а в ИСО это будет негармоническое незамкнутое движение вокруг центра почти вблизи этого радиуса и со скорость почти равной скорости вращения Земли, так как возвращающий потенциал будет уже неквадратичным. В ИСО движение оказывается гораздо более сложным. Движение по малой окружности можно рассматривать на плоскости, и широта влияет только на силу Кориолиса, а в ИСО нужно учитывать сферичность Земли.

[fred1996]

В отсутствие трения и в предположении что планета -тело вращения, наша шайба не знает что планета крутится. Планета просто прокручивается под шайбой.
Движение проще рассматривать в ИСО.

[dovlato]

Мне тоже так кажется. И наоборот, при наличии трения проще описание во вращающейся СО.