Период дискретизации

[sng1]

Пусть функция имеет ограниченный спектр (дискретный или непрерывный). Какой период дискретизации достаточен для восстановления функции?

В Зориче (6 изд., т.2. стр. 690) для непрерывного спектра приведено доказательство для периода равного половине ширины спектра. Также, для дискретного спектра вроде бы встречался мне пример, что в точности половины ширины недостаточно, надо чуть больше (если не путаю). А где найти доказательство достаточности этого условия для дискретного спектра, желательно бы ссылку на печатный источник на русском языке, или это условие недостаточно?

[DeBill]

sng1
А это не какая то там теорема Котельникова (помнится, на военной подготовке нам что-то такое рассказывали... ) ?

[sng1]

У Зорича в приведенной мною ссылке называлась теоремой Котельникова. В препринте Котельникова по ссылке из Википедии доказательство тоже для непрерывного спектра, т.е. требуется абсолютная интегрируемость функции и т.д. Простой синус (или сумма синусов) имеет дискретный ограниченный спектр, но для него такое доказательство не проходит. Наверняка уже есть монографии, где теорема доказана и для дискретного спектра, но к сожалению, не знаю как теорема называется в этом случае.

[Brukvalub]

sng1 в сообщении #1185241 писал(а):

также, для дискретного спектра вроде бы встречался мне пример, что в точности половины ширины недостаточно, надо чуть больше (если не путаю).

Здесь показан такой результат для непрерывного сигнала.
Для поиска ответа на ваш вопрос можно пойти вот таким путем:
1. Сформулировать требуемое точным математическим языком (например, я пока не могу по вашим словам это сделать).
2. Понять, проходит ли схема доказательства т. Котельникова для сформулированного в 1. случая.
3. Если в 2. ответ "нет", то порыться в голове и литературе, нет ли нужных фактов в той теории, в терминах которой сформулирована постановка задачи в 1.

[sng1]

1. Пусть функция имеет дискретный ограниченный спектр (представима в виде конечной линейной комбинации гармонических колебаний). Привести ссылку на доказательство того, что период дискретизации превышающий половину ширины спектра достаточен для восстановления функции.
2. Нет, т.к. синус на всей числовой прямой абсолютно неинтегрируем, а в тех двух доказательствах, которые я смотрел, требовалось (кроме еще некоторых вещей) абсолютная интегрируемость исходной функции.
3. Роюсь несколько часов, пока безуспешно, но возможно я ошибаюсь в п.1 и/или 2.

[Brukvalub]

sng1 в сообщении #1185263 писал(а):

Пусть функция имеет дискретный ограниченный спектр.

Например, для меня это просто некие звуки. Я не могу перевести данную фразу на математический язык. Именно об этом я и писал в п.1.

[sng1]

представима в виде конечной линейной комбинации гармонических колебаний
или в виде ряда Фурье с конечным числом членов

[wrest]

sng1 в сообщении #1185241 писал(а):

Также, для дискретного спектра вроде бы встречался мне пример, что в точности половины ширины недостаточно, надо чуть больше (если не путаю). А где найти доказательство достаточности этого условия для дискретного спектра, желательно бы ссылку на печатный источник на русском языке, или это условие недостаточно?

Да какая разница дискретный спектр или нет, вам же сигнал кодировать а не спектр?

sng1 в сообщении #1185246 писал(а):

Простой синус (или сумма синусов) имеет дискретный ограниченный спектр, но для него такое доказательство не проходит.

Почему?

Понятно, что если у вас там скажем один только синус с точно 18кГц частотой, то частотой дискретизации точно 36кГц вы его не закодируете, надо чуть больше. Вас именно это заботит?

[Brukvalub]

Вот теперь я готов поддержать вопрос wrest: где в формулировке или доказательстве т. Котельникова используется, что функция НЕ

sng1 в сообщении #1185265 писал(а):

представима в виде конечной линейной комбинации гармонических колебаний
или в виде ряда Фурье с конечным числом членов

?

[sng1]

В доказательстве требуется абсолютная интегрируемость и др. условия представления функции в виде интеграла Фурье. А обычный синус, как я понимаю (могу ошибаться), в виде интеграла Фурье непредставим.

-- Пн янв 16, 2017 21:18:42 --

wrest в сообщении #1185266 писал(а):

Понятно, что если у вас там скажем один только синус с точно 18кГц частотой, то частотой дискретизации точно 36кГц вы его не закодируете, надо чуть больше. Вас именно это заботит?

А есть доказательство, что частоты чуть больше достаточно?

[Brukvalub]

sng1 в сообщении #1185269 писал(а):

В доказательстве требуется абсолютная интегрируемость и др. условия представления функции в виде интеграла Фурье. А обычный синус, как я понимаю (могу ошибаться), в виде интеграла Фурье непредставим.

Нет, вы не ошибаетесь.
После того, как вы выполнили п.1 стало ясно, что вы рассматриваете задачу восстановления тригонометрического многочлена по его значениям на дискретном множестве. Значит, нужно искать информацию по словам "интерполяция тригонометрического многочлена", "Дискретное преобразование Фурье", "Быстрое преобразование Фурье".

[sng1]

Хорошо, посмотрю эти разделы в ближайшие дни, может придет ясность.

[wrest]

sng1 в сообщении #1185269 писал(а):

А есть доказательство, что частоты чуть больше достаточно?

Вот теорема Котельникова-Найквиста и есть.

Смотрите вкорень: у синуса всех значений на периоде по два, и только нулей трое. Поэтому надо чуть больше полосу иметь чем двойную, чтобы алиасинг не случился.

А вообще для одного заранее известного синуса достаточного одного числа - его амплитуды, тоесть бесконечно узкой полосы.

Другое дело, что реальный сигнал всегда конечный по времени, хоть один синус хоть сумма многих, поэтому "чистый синус продолжающийся бесконечно долго" в качестве реалтного сигнала невозможен. Возможно вас смущает именно это.

[profrotter]

Весь тригонометрический многочлен и не нужен. Если известно, что для каждой гармоники тригонометрического многочлена верно представление в виде ряда Котельникова, то оно верно и для всего многочлена. Это докажется прямой подстановкой. Поэтому можно ограничиться доказательством для одного гармонического сигнала. Возможно это упрощает задачу.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1185273 писал(а):

"Быстрое преобразование Фурье".

Это не нужно и даже вредно.