Операторы рождения и уничтожения для двухатомной цепочки

[Amir95]

Привет всем! Нужно найти связь операторов рождения и уничтожения фононов для двухатомной цепочки с операторами координат атомов и импульсов. Для одноатомной цепочки это делается просто, выполняем преобразование Фурье для гамильтониана, потом вводим операторы рождения и уничтожения таким образом чтобы гамильтониан принял форму

$$\ H = \sum\limits_{k=1}^{N}\ \omega_k({{a_k^+}{a_k}+\frac{1}{2})}$$

В случае двухатомной цепочки попытался сделать то же самое. После преобразования Фурье

$$x_k = {\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum\limits_{i}^{N} \ x_{i}e^{ialk}$$

$$y_k = {\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum\limits_{i}^{N} \ y_{i}e^{ia(l+\frac{1}{2})k}$$

гамильтониан

$$\ H = \sum\limits_{i=1}^{N}\ \left\lbrace\frac{{ P_{i}}^2}{2m_1}}} + \frac{{Q_{i}}^2}{2m_2}} + \frac{K}{2}({(x_i-y_i)}^2+{(x_i-y_{i-1})}^2)\right\rbrace$$

($P_i$ и $Q_i$ соответственно импульс первого и второго атома в $i$ -ой ячейке) приобретает вид

$$\ H = \sum\limits_{i=1}^{N}\ \left\lbrace\frac{{ P_{k}P_{-k}}}{2m_1}}} + \frac{{Q_{k}Q_{-k}}}{2m_2}} + \ K\left\lbrace{x_k}{x_{-k}}+y_{k}y_{-k}-2cos(\frac{ka}{2})x_{k}y_{-k}\right\rbrace\right\rbrace$$

($a$-расстояние между ячейками)Теперь нужно ввести новые переменные чтобы гамильтониан стал диагональным. Если мы посмотрим на импульсную часть, то видим что она представляет с собой эллипс, а координатная часть - повернутый на некоторый угол эллипс. Последовательность действий такая: сначала ввожу новые координаты т.о. чтобы импульсная часть перешла в окружность (при этом координатная часть опять будет описываться повернутым эллипс), потом поворачиваю систему координат таким образом, чтобы оси эллипса были направлены вдоль координатных осей. Окружность при этом останется окружностью , а диагональный член в координатной части исчезнет. Т.о. получается диагональный гамильтониан - сумма двух гамильтонианов гармонических осцилляторов. Но частоты которые сидят в полученных выражениях не совпадают с акустическими и оптическими частотами для двухатомной цепочки. Никак не могу понять где я ошибся. В литературе тоже ничего не нашел, везде решается классические уравнения, потом по аналогии (без решения) с одноатомным случаем вводятся операторы рождения и уничтожения, но явный вид их через операторы координат и импульсов не приводится.