Обоснование схемы доказательства

[angor6]

В учебнике "Алгебра и теория чисел", написанном Л. Я. Куликовым, есть такое упражнение: "Обоснуйте следующие схемы доказательств:
(a) $\frac{A \to \lnot B}{B \to \lnot A};$ ...
Правильно, ли я понимаю, что для выполнения упражнения нужно показать, что утверждение, записанное под чертой, является следствием утверждения, записанного над чертой, и это можно сделать, например, если заметить, что оба утверждения эквивалентны, и воспользоваться правилом удаления эквиваленции $\frac{P \leftrightarrow Q}{P \to Q}$? Или такие упражнения нужно выполнять иначе?

[Sonic86]

angor6 в сообщении #1184026 писал(а):

Правильно, ли я понимаю, что для выполнения упражнения нужно показать, что утверждение, записанное под чертой, является следствием утверждения, записанного над чертой

Да

angor6 в сообщении #1184026 писал(а):

и это можно сделать, например, если заметить, что оба утверждения эквивалентны, и воспользоваться правилом удаления эквиваленции $\frac{P \leftrightarrow Q}{P \to Q}$?

Можно и так. В метатеории можно доказывать утверждения естественным образом.

[arseniiv]

Вообще вы можете просто эквивалентными преобразованиями привести $A\to\neg B$ к $B\to\neg A$, а когда формулы эквивалентны, каждая из них — логическое следствие другой. Или вы можете построить таблицы истинности и показать логическое следствие в лоб.

angor6 в сообщении #1184026 писал(а):

например, если заметить, что оба утверждения эквивалентны, и воспользоваться правилом удаления эквиваленции $\frac{P \leftrightarrow Q}{P \to Q}$

Главное не путать эквивалентность и логическое следствие метатеориии с $\leftrightarrow$ и $\to$ теории.

-- Чт янв 12, 2017 20:36:58 --

Вообще, чтобы в будущем не возникла путаница, $\frac{F_1,\ldots,F_n}G$ обычно не является синонимом $F_1,\ldots,F_n\vDash G$ как в этой книге, а обозначает правило вывода или выводимость по какому-то правилу вывода; и хотя от правил вывода и требуют $(\vDash F_1)\mathbin\&\ldots\mathbin\&(\vDash F_n)\Rightarrow(\vDash G)$ для любых $F_1,\ldots,F_n,G$, соответствующих структуре правила ($\mathbin\&,\Rightarrow$ — конъюнкция и импликация из метатеории), но это всё же не то же самое что $F_1,\ldots,F_n\vDash G$.

[angor6]

Sonic86
arseniiv
Благодарю Вас за ответы! Я рад, что правильно выполнил упражнение, с которым встретился впервые. К сожалению, что такое метатеория, я не знаю. Надеюсь, что на данном этапе самообразования для меня это несущественно. Досадно, конечно, что используемый мной учебник, исходя из сообщения уважаемого arseniiv, неточен. Придётся смириться и с этим...

Я предполагаю, что упражнение можно было бы выполнить так. Предположим, что истинными являются формулы $ A\to\neg B $ и $ B. $ Если формула $ A $ истинна, то из первой посылки имеем истинную формулу $ \neg B $, что противоречит истинности формулы $ B $. Значит, формула $ A $ ложна, и истинна формула $ \neg A $ и с ней формула $ B\to\neg A. $ Это правильно?

[arseniiv]

angor6 в сообщении #1184078 писал(а):

К сожалению, что такое метатеория, я не знаю.

Это та теория, в которой сейчас определяются понятия формулы, логического следования и прочего, в данном случае неформальная теория, утверждения которой в основном записываются словами. Главное тут то, что это не та же самая теория, которую мы рассматриваем, иначе, в принципе, можно прийти к парадоксам с самоссылающимися высказываниями и подобному (хотя мы можем строить и рассматривать теории с самоссылающимися высказываниями специально — но это далеко от целей рассматриваемой книги).

angor6 в сообщении #1184078 писал(а):

Досадно, конечно, что используемый мной учебник, исходя из сообщения уважаемого arseniiv, неточен.

Нет, почему неточен — просто автор решил немного посокращать углы. Я удивлён, что он вообще стал говорить о формулах, если книга про алгебру и теорию чисел, а не матлогику.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1184050 писал(а):

Вообще, чтобы в будущем не возникла путаница, $\frac{F_1,\ldots,F_n}G$ обычно не является синонимом $F_1,\ldots,F_n\vDash G$

Вы имеете ввиду, что в той книги определение

arseniiv в сообщении #1184050 писал(а):

, $\frac{F_1,\ldots,F_n}G$

как и

arseniiv в сообщении #1184050 писал(а):

$F_1,\ldots,F_n\vDash G$

такое

да?

(Оффтоп)

Не сочтите за занудство, просто расставляю все точки над и.

-- 12.01.2017, 21:03 --

angor6 в сообщении #1184026 писал(а):

В учебнике "Алгебра и теория чисел", написанном Л. Я. Куликовым

Вообще, честно говоря, такие книги для

angor6 в сообщении #1184078 писал(а):

самообразования

мало что дают: ну решу я задачу, а толку-то: ответов нет, правильно-неправильно решил, бо-о-льшой вопрос.

[arseniiv]

Да. См. низ стр. 18 и верх стр. 19 (если у нас одинаковые издания, я что-то не посмотрел и не сохранял и уже закрыл).

angor6 в сообщении #1184078 писал(а):

Я предполагаю, что упражнение можно было бы выполнить так. Предположим, что истинными являются формулы $ A\to\neg B $ и $ B. $ Если формула $ A $ истинна, то из первой посылки имеем истинную формулу $ \neg B $, что противоречит истинности формулы $ B $. Значит, формула $ A $ ложна, и истинна формула $ \neg A $ и с ней формула $ B\to\neg A. $ Это правильно?

Практически. (Т. е. кто-то сочтёт это достаточным, хотя, по-моему, это слишком кратко, и если вдруг есть путаница импликаций и следствия, установить это по данному тексту будет нельзя.)

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1184099 писал(а):

Да. См. низ стр. 18 и верх стр. 19.

А у меня низ стр. 14 и верх стр. 15. (по нумерации на страницах книги).

[angor6]

arseniiv

arseniiv в сообщении #1184099 писал(а):

angor6 в сообщении #1184078 писал(а):

Я предполагаю, что упражнение можно было бы выполнить так. Предположим, что истинными являются формулы $ A\to\neg B $ и $ B. $ Если формула $ A $ истинна, то из первой посылки имеем истинную формулу $ \neg B $, что противоречит истинности формулы $ B $. Значит, формула $ A $ ложна, и истинна формула $ \neg A $ и с ней формула $ B\to\neg A. $ Это правильно?

Практически. (Т. е. кто-то сочтёт это достаточным, хотя, по-моему, это слишком кратко, и если вдруг есть путаница импликаций и следствия, установить это по данному тексту будет нельзя.)

Насколько я понимаю, стрелка, направленная вправо, в контексте используемого мной учебника обозначает импликацию.

-- 12.01.2017, 19:31 --
Sinoid

Sinoid в сообщении #1184096 писал(а):

angor6 в сообщении #1184026 писал(а):

В учебнике "Алгебра и теория чисел", написанном Л. Я. Куликовым

Вообще, честно говоря, такие книги для

angor6 в сообщении #1184078 писал(а):

самообразования

мало что дают: ну решу я задачу, а толку-то: ответов нет, правильно-неправильно решил, бо-о-льшой вопрос.

Согласен с Вами. Поэтому вместе с этим учебником я использую ещё и задачник, составленный Л. Я. Куликовым, А. И. Москаленко, А. А. Фоминым. В нём к большей части заданий есть ответы и указания. Кроме того, рассчитываю выяснять интересующие меня вопросы на этом форуме. Учебник же я выбрал, прельстившись возможностью изучить несколько разделов математики на сносном хотя бы для школьных учителей математики уровне по одному источнику.

[Sinoid]

Кстати, про

arseniiv в сообщении #1184050 писал(а):

выводимость

Вот когда в метатеории пишут

arseniiv в сообщении #1184050 писал(а):

$F_1,\ldots,F_n\vDash G$

при этом имеют ввиду истинность этой самой выводимости, верно? Так что получается, понятие истинности/ложности присутствует и в метаматематике. Верно?

(Оффтоп)

Извините за перехват темы, сейчас закончу.

[arseniiv]

(Оффтоп)

angor6 в сообщении #1184108 писал(а):

Насколько я понимаю, стрелка, направленная вправо, в контексте используемого мной учебника обозначает импликацию.

Всё правильно понимаете, хотя я говорил немного не о том, хотя это не важно.

Sinoid в сообщении #1184130 с небольшими изменениями писал(а):

Вот когда в метатеории пишут $F_1,\ldots,F_n\vDash G$, при этом имеют ввиду истинность этой самой выводимости, верно?

Это не выводимость, выводимость обозначается $\vdash$. А это же логическое следствие.

Sinoid в сообщении #1184130 писал(а):

Так что получается, понятие истинности/ложности присутствует и в метаматематике. Верно?

Я не чувствую, что понимаю, что́ стоит отвечать на такой вопрос, если метатеория не формализована. Если формализована в какой-то метаметатеории, то ответ будет дан тем, как именно. Может, это просто система вывода, и об интерпретациях формул, а потому и истинности, ничего не говорится.

[angor6]

arseniiv

(Оффтоп)

Я надеюсь, что разницу между импликацией и следствием понимаю.