Помогите решить нелинейную сис. ур в ЧП.

[Zhenia]

Всем привет!
Помогите решить следующую задачу математической физики

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (\rho u) = 0, $$ $$ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{c^2(\rho)}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial x} - \frac{\eta}{\rho}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, $$

где $\rho,\,u$ - неизвестные функции x и t, $c(\rho)$ - известная функция, $\eta = const$. Начальные условия:

$$\rho(x,0) = \rho_0(x), \quad u(x,0) = u_0(x),$$

где $\rho_0(x), \, u_0(x)$ - кусочно-непрерывные функции (допускаются конечные по амплитуде разрывные скачки). Известно, что данные функции "хорошо" ведут себя на бесконечности.
Хотелось бы найти решение данной задачи на -\infty<x<+\infty,\,t>0. Что скажете? Буду признателен за любые ссылки на литературу или вэб.

Задача описывает плоско-параллельное движение вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса для случая, когда давление есть функция только плотности. Уверен, что она уже должна быть кем-то решена. Но пока мои поиски не увенчались успехом. Буду признателен если поможете. Более всего мне интересно, как будет эволюционировать ступенчатый начальный профиль. Будет ли у него характерное время размывания и какова оценка этого времени.

Всем спасибо!

[V.V.]

Классное предложение: решить задачу Коши для нелинейной системы УрЧП!

Ну, могу я найти какие-нибудь точные решения для конкретных $c(\rho)$. Но вероятность того, что эта задача Коши решится в общем виде близка к нулю.

[Zhenia]

V.V. писал(а):

Классное предложение: решить задачу Коши для нелинейной системы УрЧП!

Ну, могу я найти какие-нибудь точные решения для конкретных $c(\rho)$. Но вероятность того, что эта задача Коши решится в общем виде близка к нулю.

Неплохое предложение, согласен Фнкция $c(\rho)$ в моем конкретном случае выбирается в виде полинома степени $n$ без свободного члена, т.е. коэффициент $\eta/\rho$ будет полиномом степени $n-1$. Если это поможет. Другого мне не надо.

Повторюсь, что задача описывает простейший случай нестационарного течения жидкости с большой вязкостью, поэтому не верю, что никаких наработок тут нет. Если принципиально невозможно решить задачу Коши, то, наверняка, есть какой-то простой способ оценить характерное время размазывания начального ступенчатого профиля. Я могу предложить оценку, исходя из молекулярно-кинетических соображений, но в нее будут входить параметры, отсутствующие в поставленной выше задаче. Поэтому хотелось бы все таки получить какое-нибудь решение.

Я не прошу Вас решить задачу, но, может быть, с подобными проблемами Вы встречались и можете подкинуть пару идей, методов, ценных указаний или ссылок. Буду очень признателен.

Спасибо!

[V.V.]

Zhenia писал(а):

Фнкция $c(\rho)$ в моем конкретном случае выбирается в виде полинома степени $n$ без свободного члена, т.е. коэффициент $\eta/\rho$ будет полиномом степени $n-1$.

Не понял насчет полинома $\eta/\rho$. Раньше $\eta$, вроде постоянной была.

Про ссылки. А что пишут по этому поводу Лойцянский, Темам, Ладыженская?

Я посчитал классические симметрии этой системы. Они только естественные: трансляции по $t$ и $x$ и масшаб в случае $c(\rho)=\rho^\alpha$. Т.е. из них много точных решений не найдешь. Можно еще попытаться поискать точные решения как инварианты 3-тканей...

Если $\eta$ можно считать малым параметром, то можно попытаться построить ВКБ-асимптотику.

[Zhenia]

V.V. писал(а):

Zhenia писал(а):

Фнкция $c(\rho)$ в моем конкретном случае выбирается в виде полинома степени $n$ без свободного члена, т.е. коэффициент $\eta/\rho$ будет полиномом степени $n-1$.

Не понял насчет полинома $\eta/\rho$. Раньше $\eta$, вроде постоянной была.

Про ссылки. А что пишут по этому поводу Лойцянский, Темам, Ладыженская?

Я посчитал классические симметрии этой системы. Они только естественные: трансляции по $t$ и $x$ и масшаб в случае $c(\rho)=\rho^\alpha$. Т.е. из них много точных решений не найдешь. Можно еще попытаться поискать точные решения как инварианты 3-тканей...

Если $\eta$ можно считать малым параметром, то можно попытаться построить ВКБ-асимптотику.

Прошу прощения, оговорился, имелось ввиду, что полиномом степени n-1 будет $c(\rho)/\rho$. \eta естественно константа, причем не малая.

Как Вы считаете симметрии? Вещь полезная. Это, случаем, не групповой анализ ДУ?

Ссылки Ваши пробью.

Тут мне предложили способ решения: сначала попытаться решить задачу с $\eta=0$, затем это решение как-то проварьировать, чтобы оно удовлетворило полной системе. Что думаете? Но даже, если идти по этому пути, все равно остается вопрос решения задачи для системы нелинейных УрЧП.

Спасибо!

[V.V.]

Да, счет симметрий - это групповой анализ. Считаю я их на компьютере.

По поводу $\eta=0$. Я не умею так варьировать, но из этого не следует, что это невозможно.

[Zhenia]

V.V. писал(а):

Да, счет симметрий - это групповой анализ. Считаю я их на компьютере.

По поводу $\eta=0$. Я не умею так варьировать, но из этого не следует, что это невозможно.

Еще вопросец: в каком мат. пакете Вы считаете симметрии, если не секрет, конечно?

Спасибо!

P.S. Нашел одну статью, посвященную данной теме, правда, там решают краевую задачу. Если кому интересно. Ссылка на статью.

[V.V.]

Я считаю в Mathematica.

[Юрий Косовцов]

V.V. писал(а):

Классное предложение: решить задачу Коши для нелинейной системы УрЧП!

Ну, могу я найти какие-нибудь точные решения для конкретных $c(\rho)$. Но вероятность того, что эта задача Коши решится в общем виде близка к нулю.

Вопрос в том, что имеется в виду под решением задачи и что с этим решением предполагается делать.

Существуют точные формальные решения задач Коши для нелинейных систем УрЧП, но в операторной форме. См. решение на

http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=1906

Введение в операторный метод

http://arxiv.org/abs/math-ph/0409035

[V.V.]

И что с этими "решениями" делать дальше?

Автору темы надо решить задачу Коши.
С помощью "автомодельных" решений можно попытаться приблизить начальные условия и посмотреть на их поведений и сделать какие-нибудь выводы о решении нужной задачи. Как ему поможет предложенный Вами метод?

[Zhenia]

Юрий Косовцов писал(а):

V.V. писал(а):

Классное предложение: решить задачу Коши для нелинейной системы УрЧП!

Ну, могу я найти какие-нибудь точные решения для конкретных $c(\rho)$. Но вероятность того, что эта задача Коши решится в общем виде близка к нулю.

Вопрос в том, что имеется в виду под решением задачи и что с этим решением предполагается делать.

Существуют точные формальные решения задач Коши для нелинейных систем УрЧП, но в операторной форме. См. решение на

http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=1906

Введение в операторный метод

http://arxiv.org/abs/math-ph/0409035

Под решением задачи Коши имеется ввиду нахождение обобщенного решения, т.е. необходимо найти такие обобщенные функции $\rho(x,t),\,u(x,t)$, которые удовлетворяют системе уравнений и начальным условиям (+стремление к нулю на бесконечности по удобному закону +какие-то доп. условия, если они будут нужны).

Кстати, по поводу системы уравнений следует сделать существенное замечание. Необходимо убрать член $\partial u / \partial t$. Этот член порядка $Re/\rho$ и в рамках сделанного приближения не должен рассматриваться.

Таким образом, система уравнений примет вид

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (\rho u) = 0, $$ $$ \frac{c^2(\rho)}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial x} - \frac{\eta}{\rho}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0. $$

.

Что с этими решениями делать? Проследить за эволюцией начального ступенчатого профиля произвольной амплитуды.

Спасибо за ссылки.

[V.V.]

Вроде как ступенька для обеих функций не может долго сохраняться.

[Zhenia]

V.V. писал(а):

Вроде как ступенька для обеих функций не может долго сохраняться.

А на каком основании можно сделать подобное утверждение? Вот если бы еще была идея как оценить время распада/релаксации... То было бы совсем замечатьлно.

[V.V.]

Производная ступеньки - дельта.
В левой части уравнения $c(\rho)\rho_x=\eta u_{xx}$ дельта, в правой - производная дельты.

[Zai]

Zhenia писал(а):

Таким образом, система уравнений примет вид

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (\rho u) = 0, $$ $$ \frac{c^2(\rho)}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial x} - \frac{\eta}{\rho}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0. $$

.

Что с этими решениями делать? Проследить за эволюцией начального ступенчатого профиля произвольной амплитуды.

Спасибо за ссылки.

Если Вам сложно найдти аналитическое решение, попробуйте порешать задачу Коши для известного закона изменения по времени плотности, например
$\rho(x,t)=\rho_1(x) e^ {-\alpha t}
Система сведется к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Задавая на левом конце интервала начальное значение плотности и скорости и градиента скорости, Вы получите интегрированием Рунге-Кутта хорошее решение, что-то вроде волны разряжения, в которой перепад давления уравновешивается силами вязкости. Такое решение будет вполне приемлемым для последующего тестирования разностных схем.