Задачи на степень отображения.

[AD]

Цитата:

Не допускается вынесение на обсуждение задач еще не прошедших он-лайн и заочных олимпиад.

А с не прошедших экзаменов можно?

Так вот, у нас к экзамену предлагается некоторое количество задач про степень гладкого отображения многообразий. Предлагается придумать отображение из двумерного тора в двумерную же сферу любой заданной степени (для начала хотя бы степени 1 ... степени 2 я вроде бы знаю одно - это Гауссово сферическое отображение, да?, а с нечетными степенями вообще непонятно - даже как сочинить гладкое отображение, у которого регулярная точка имеет нечетное число прообразов).

А еще предлагается доказать, что два отображения n-мерной сферы в себя гомотопны тогда и тоооолько тогда, когда имеют одинаковую степень. В книжках видел вроде какие-то даже более общие факты, но без доказательства. В одну сторону очевидно - если два отображения гомотопны, то они по любому имеют одинаковую степень, это доказывалось. Для $n=1$ вроде бы получилось примерно так: рисуем график нашего отображения $f:S^1\to S^1$ на клетчатой бумаге с сеткой $2\pi\times 2\pi$, как будто на торе $S^1\times S^1$, без ограничения общности считаем, что $f(0)=0$, и тогда смотрим на $f(2\pi)$ - из-за периодичности оно имеет вид $2\pi n$, где $n$ и есть степень отображения. А дальше понятно, как деформировать график. А как обобщать на $S^n$? По индукции?

Добавлено спустя 58 минут 51 секунду:

Вот нашел ссылку забавную по теме: http://mech.math.msu.su/~troitsky/priklad.ps. Там решается вторая задача, но очень нестрого.

[Echo-Off]

AD писал(а):

степени 2 я вроде бы знаю одно - это Гауссово сферическое отображение, да?

Думается мне, это отображение степени 0.

[AD]

Echo-Off писал(а):

Думается мне, это отображение степени 0.

Ну может быть ... Вообще, правильно ли я понимаю, что, найдя отображение степени 1, мы сможем соорудить отображение любой степени, "скомпозировав" наше отображение с наматыванием тора на себя?