2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Асимптотика суммы биномиальных коэффициентов с весами
Сообщение17.01.2008, 15:51 
$a_0C_n^0+a_1C_n^1+\cdots+a_nC_n^n$
нужен метод нахождения главного члена асимптотики этого ряда
последовательность $a_n$ считается заданной и пусть задача корректна -- это накладывает какие-то ограничения на последовательность $a_n$

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 01:24 
Похоже немножко переборщил с обобщением
Вот пара конкретных примеров:
$\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^k\left(\frac{n-k}{n}\right)^nC_n^k$
$\sum\limits_{k=1}^{n/2}(-1)^k\left(\frac{n-2k}{n}\right)^nC_n^k$

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 02:04 
Ренат писал(а):
Похоже немножко переборщил с обобщением

Да уж, не то слово.
Ренат писал(а):
Вот пара конкретных примеров:
$\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^k\left(\frac{n-k}{n}\right)^nC_n^k$
Я бы попробовал здесь к $$\left(1-\frac{k}{n}\right)^n$$ применить бином Ньютона и переставить порядки суммирования. Внутренняя сумма сведется к чему-то вроде $$\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k k^l$$, которую, вероятно, можно исследовать с помощью функции $$(1-x)^n$$ и ее производных. Но не знаю, получится ли что-нибудь хорошее на этом пути.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 03:42 
Аватара пользователя
:evil:
Попробуйте доказать, что $\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\left(\frac{n-k}{n}\right)^nC_n^k = \frac{n!}{n^n}$

$\sum\limits_{k=0}^{n/2}(-1)^k\left(\frac{n-2k}{n}\right)^nC_n^k = \frac{2^{n-1}n!}{n^n}$

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group