Асимптотика суммы биномиальных коэффициентов с весами

[Ренат]

$a_0C_n^0+a_1C_n^1+\cdots+a_nC_n^n$
нужен метод нахождения главного члена асимптотики этого ряда
последовательность $a_n$ считается заданной и пусть задача корректна -- это накладывает какие-то ограничения на последовательность $a_n$

[Ренат]

Похоже немножко переборщил с обобщением
Вот пара конкретных примеров:
$\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^k\left(\frac{n-k}{n}\right)^nC_n^k$
$\sum\limits_{k=1}^{n/2}(-1)^k\left(\frac{n-2k}{n}\right)^nC_n^k$

[Gordmit]

Ренат писал(а):

Похоже немножко переборщил с обобщением

Да уж, не то слово.

Ренат писал(а):

Вот пара конкретных примеров:
$\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^k\left(\frac{n-k}{n}\right)^nC_n^k$

Я бы попробовал здесь к

$$\left(1-\frac{k}{n}\right)^n$$

применить бином Ньютона и переставить порядки суммирования. Внутренняя сумма сведется к чему-то вроде

$$\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k k^l$$

, которую, вероятно, можно исследовать с помощью функции

$$(1-x)^n$$

и ее производных. Но не знаю, получится ли что-нибудь хорошее на этом пути.

[незваный гость]

Попробуйте доказать, что $\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\left(\frac{n-k}{n}\right)^nC_n^k = \frac{n!}{n^n}$

$\sum\limits_{k=0}^{n/2}(-1)^k\left(\frac{n-2k}{n}\right)^nC_n^k = \frac{2^{n-1}n!}{n^n}$