Определить мощность: рациональные последовательности

[Maviru]

S:={$\alpha$=($a_1, a_2,...,a_n,...$): $ все a_n\in Q$ и $\alpha - $геометрическая прогрессия}

Чему равна мощность множества S?

Верно ли, что мощность равна алеф ноль, так как S является подмножеством счётного множества Q, мощность которого алеф ноль. И так как между множеством S и множеством натуральных чисел можно задать взаимно однозначное отображение: $ a_n=a_1*q^{n-1}$

[Brukvalub]

Maviru писал(а):

Верно ли, что мощность равна алеф ноль

Верно, поскольку прогрессия полностью определяется своим первым членом и знаменателем.

[PAV]

Но объяснение никуда не годится. Во-первых, S не является подмножеством Q, так как каждый элемент S (прогрессия) определяется двумя рац. числами. Поэтому правильнее будет написать, что $S=Q\times Q$. Вторая же фраза совсем плоха, поскольку нам нужно нумеровать разные последовательности, а не отдельные члены в одной последовательности.

[neo66]

PAV писал(а):

Поэтому правильнее будет написать, что $S=Q\times Q$.

Помниться еще Булгаков писал, что рыбы второй свежести не существует. Может тогда еще правильней написать, что $S=\mathbb{Q}$? Или $S=\mathbb{N}$?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Помниться еще Булгаков писал, что рыбы второй свежести не существует. Может тогда еще правильней написать, что $S=\mathbb{Q}$? Или $S=\mathbb{N}$?

Если стремиться к правильности, то надо отличать мощность множества от самого множества. По вашему определению $S$ - это набор некоторых бесконечных последовательностей. Оно никак не может быть равно множеству натуральных или дробных чисел хотя бы потому, что элементы разные. Если же говорить о мощности, то
$|S| = | \mathbb{Q}| = | \mathbb{N}| = \aleph_0$

Правда, если перегнуть с правильностью, могут и занудой назвать.

[PAV]

PAV писал(а):

Поэтому правильнее будет написать, что $S=Q\times Q$.

Конечно же, я неудачно написал. Имелось в виду наличие естественной биекции между этими множествами.

[neo66]

Я так и понял. Наверное, я все-таки зануда .

[Maviru]

Правильно ли я поняла вопрос
Множество S состоит из счётного бесконечного числа альф, каждое из которых представляет собой счётную бесконечную последовательность рациональных чисел Поэтому

$|S|=\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0

первое алеф ноль - это мощность множества всех альф, т.к. существует биекция с мно-ом натуральных чисел: $ f(\alpha_n)=\alpha_1*q^{n-1}

второе алеф ноль - это мощность счётной бесконечной последовательности (как подмножество счётного множества? или лучше сказать, что все елементы можно занумеровать натуральными числами)

И ,по случаю , огромное спасибо за помощь

[Brukvalub]

Maviru писал(а):

Множество S состоит из счётного бесконечного числа альф, каждое из которых представляет собой счётную бесконечную последовательность рациональных чисел

Нет. Множество S - это множество геометрических прогрессий с рац. первым членом и рац. знаменателем, поэтому оно нумеруется парами рац. чисел.

[Профессор Снэйп]

Давайте совсем уж строго

Лемма 1 |S| \leqslant |Q \times Q|

Доказательство. Отображение $f : Q \times Q \to S$, сопоставляющее паре $\langle p,q \rangle$ последовательность $p, pq, pq^2, pq^3, \ldots$, сюрьективно.

Лемма 2 $|Q| \leqslant |S|$.

Доказательство. Отображение $g : Q \to S$, сопоставляющее рациональному числу $q$ последовательность $q,q,q,\ldots$, инъективно.

Теорема $|S| = \aleph_0$.

Доказательство. Утверждение о том, что $|Q| = \aleph_0$, является известным фактом. Также известно, что для любого бесконечного множества $A$ справедливо $|A| = |A \times A|$ (этот факт, кстати, в ZF эквивалентен аксиоме выбора). Значит, $|Q \times Q| = \aleph_0$. По доказанным выше леммам имеем $\aleph_0 \leqslant |S| \leqslant \aleph_0$. По теореме Кантора-Бернштейна заключаем, что $|S| = \aleph_0$.

P. S. ИМХО с людьми, которые не знают, что такое "сюрьекция", "инъекция" и "теорема Кантора-Бернштейна", разговаривать о мощностях бессмысленно. Ибо они сами не знают, о чём говорят.

Я сам каждую весну трачу несколько семинаров на то, чтобы отучить студентов рассуждать о мощностях на "птичьем языке", оперируя терминами "подсчёт количества элементов" и прочей чепухой. Есть определения, есть теоремы --- вот ими и пользуйтесь. Устанавливайте биекции, сюрьекции, инъекции, но только не "считайте количества"!!!.. по крайней мере в течении нескольких семинаров. Потом, надеюсь, поймёте, что за этими "количествами" на самом деле стоит

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

оперирую терминами "подсчёт количества элементов" и прочей чепухой.

Это как?

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Правда, если перегнуть с правильностью, могут и занудой назвать.

Лучше перегнуть, чем недогнуть.

Добавлено спустя 38 секунд:

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

оперирую терминами "подсчёт количества элементов" и прочей чепухой.

Это как?

Это опечатка. Щас исправлю.

Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды:

Исправил.

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

Maviru писал(а):

Множество S состоит из счётного бесконечного числа альф, каждое из которых представляет собой счётную бесконечную последовательность рациональных чисел

Вот, кстати, типичный пример "птичьего языка", подлежащего безжалостному искоренению. Если человек пишет такое, то одно из двух: или он ещё не изучал матлогику, или его препод по матлогике никуда не годится.