2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение13.01.2006, 08:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5624
Новосибирск
Да нет - всё просто. Искомое разложение единицы со знаменателями, большими N:
$1 = \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2} +  ... +\frac{1}{K} +R$, где $R<\frac{1}{K-1}$ и следовательно $R=\frac{1}{K}r$ с правильной дробью r, которую мы раскладывать умеем.
А теперь достаточно записать p/q в виде p одинаковых дробей и "развести" знаменатели.

Первоначально так и было - вместе с коллегой проверили, после чего и запостил. А потом увидал совсем простенькое "решение", доступное 5-класснику, в котором спустя пару часов косячок обнаружил. Ох не сразу вернулся в прежнее русло, да и не без посторонней помощи. :D

Однако всё же потянет на олимпиадную?

 Профиль  
                  
 
 Гашков и Чубариков отвели на эту задачу целый параграф
Сообщение14.01.2006, 02:02 


22/06/05
164
На олимпиадную, конечно, потянет (правда, хорошо известна в узких кругах).

Гашков и Чубариков в книге "Арифметика..." отвели на эту задачу весь второй параграф. Помимо прочего, там два алгоритма разложения правильной дроби, жутковатый алгоритм разложения произвольной дроби и замечание, что в книге Тригга "Задачи с изюминкой" было приведено некорректное доказательство.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2006, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5624
Новосибирск
Хм, а зачем целый параграф? К сожалению в инете книжку не нашёл - там только заказать можно. Неужто у них сложнее?
Представление правильной дроби $\frac{p}{q}=\frac{p_0}{q_0} легко получить, например, через линейные представления единицы $1 = p_i q_{i+1} - q_i p_{i+1} \ (p_{i+1}<p_i, q_{i+1}<q_i$):

$\frac{p_0}{q_0}=\frac{p_0q_1}{q_0q_1}=\frac{1+q_0p_1}{q_0q_1}=\frac{1}{q_0q_1}+\frac{p_1}{q_1} = \frac{1}{q_0q_1} +  \frac{1}{q_1q_2} + ... $,

а представление целого числа через сумму "далёких" членов ряда описано выше. Мой "коронный" ход через сумму одинаковых дробей $1/q$, понятно смысла не имеет, так как сам содержит разложение правильной дроби. Это просто отголоски тех глюков, которые у меня возникли после того, как я соблазнился лёгким 5-классным решением, основанном на равенстве $1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$, а потом обнаружил, что оно несостоятельно. С чего то я взял, что та же самая ошибка у меня была и в первоначальном. Освободился от этого глюка не без постороннего вмешательства. :D

 Профиль  
                  
 
 Доказательство через операции n\mapsto n+1 и n\mapsto n(n+1)
Сообщение15.01.2006, 16:59 


22/06/05
164
Доказательство из книги Гашкова и Чубарикова построено на формуле
$$1=\sum_{k=1}^n\sum_{a_1,\ldots,a_k=0,1}\frac{1}{P_{a_k}(\ldots P_{a_1}(n)\ldots)}.$$
Все слагаемые различны. Здесь $P_0(x)=x+1$, $P_1(x)=x(x+1)$.

Полагая большие n, можно "раздвинуть" слагаемые.

См. также личное сообщение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group