Цитата:
Put

, denote the closure of

by

, and let

be the set of continuous functions

such that

is holomorphic on

.
(a) Check that

(with pointwise multiplication and with the sup-norm) is a Banach algebra.
(b) Describe the space of maximal ideals of

.
В пункте (a) хотим проверить, что

и что

полно.

Теперь проверяем полноту. Насколько помню, есть общее утверждение, что если в некотором открытом подмножестве

задана сходящаяся последовательность голоморфных функций, то она равномерно сходится к голоморфной функции на всех компактах внутри этого подмножества (если в моей формулировке есть ошибка, буду благодарен за её исправление). Таким образом, предел последовательности из

лежит снова в

(

содержит свои предельные точки). Непрерывные функции на компакте ограничены и пространство непрерывных ограниченных функций полно, а замкнутое подмножество полного пространства само полно. Моё обоснование корректно?
(b) Насколько знаю, в непрерывных функциях на компактном пространстве

любой максимальный идеал имеет вид

, то есть состоит из всех функций, имеющих общий нуль в некоторой выбранной точке. Здесь имеется в виду именно это или подразумевается какое-то более полное исследование?