Группа порядка 2n.

[elcur]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане! Изучая теорию групп, у меня появилось предположение, что каждая конечная группа $G$ порядка 2n содержит элементы порядка 2.
Попробовал доказать. Вот мое доказательство:
Предположим, что не существует элементов порядка 2 в группе порядка 2n. Тогда $\forall$ $g\inG$: $g\ne$g^{-1}$$. И тогда $G=\left\lbrace1\right\rbrace\cup\left\lbrace{x_1}, {x_1}^{-1}\right\rbrace\cup\left\lbrace{x_2}, {x_2}^{-1}\right\rbrace\cup...\cup\left\lbrace{x_n}, {x_n}^{-1}\right\rbrace$
Т.е порядок группы $G$ равен $2n+1$, но $2n+1 \ne 2n$, $\Rightarrow$ имеем противоречие с условием $\Rightarrow$ любая группа $G$ порядка 2n содержит элементы порядка 2.

Уважаемые, хотел бы попросить вас проверить данное доказательство!
Если данное доказательство верно, то у меня появляется вопрос: как можно доказать это предположение, используя теоремы Силова и можно ли?
Заранее спасибо за вашу отзывчивость.

[knizhnik]

теоретико-групповая теорема Коши
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF)

[elcur]

Замечательная теорема, благодарю. Но все же интересует верность моего метода.

[knizhnik]

удалил

[пианист]

elcur в сообщении #1182046 писал(а):

проверить данное доказательство

По моему все ок.

elcur в сообщении #1182046 писал(а):

как можно доказать это предположение, используя теоремы Силова и можно ли

По теореме Силова вроде бы получается только, что должна быть подгруппа порядка $2^k$, максимальной степен двойки, на которую делится $2n$.. вывода про элемент порядка 2 с ходу не видно.

[elcur]

Цитата:

Просто я ни вижу, откуда такое предположение вообще взялось, как вы его вообще получили.

Я предположил, что в данной группе нет инволюций и все.

[knizhnik]

elcur в сообщении #1182052 писал(а):

Я предположил, что в данной группе нет инволюций и все.

Похоже, что все верно. Раз у каждого элемента свой обратный, можно разбить на непересекающиеся пары и нарушается четность. Доказательство ваше верное.

[elcur]

Спасибо за ваше внимание, мне уделенное.
knizhnik, еще раз благодарю за замечательную теорему.